作业帮高等代数的一道题目,涉及多项式互素和矩阵运算,矩阵的秩.
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 13:45:46
高等代数的一道题目,涉及多项式互素和矩阵运算,矩阵的秩.
设数域F上的多项式h(x)和g(x)互素,即（h(x),g(x)）=1,又f(x)=h(x)g(x),若存在n阶实矩阵A使得f(A)=0,证明：r (g(A)) + r (h(A)) = n.
设数域F上的多项式h(x)和g(x)互素,即（h(x),g(x)）=1,又f(x)=h(x)g(x),若存在n阶实矩阵A使得f(A)=0,证明：r (g(A)) + r (h(A)) = n.
由于秩不依赖于域的选取, 可以在复数域上处理.
先把A化到Jordan标准型, 然后对于每个Jordan块J_i而言g(J_i)和h(J_i)至少有一个非奇异(因为g和h没有重根), 而g(J_i)h(J_i)=0, 所以这两个因子恰有一个为零, 另一个满秩. 把所有Jordan块对应的秩加一下就是结论.
再问： 您能用别的方法么？我还没学到Jordan标准型。谢谢了!
再答： 那我再给你一个办法, 不需要做域扩张 先取多项式u(x), v(x)使得u(x)g(x)+v(x)h(x)=1 然后对块对角阵[g(A), 0; 0, h(A)]做块初等变换 [g(A), 0; 0, h(A)] ~ [g(A), 0; u(A)g(A), h(A)] ~ [g(A), 0; u(A)g(A)+h(A)v(A), h(A)]=[g(A), 0; I, h(A)] ~ [0, -g(A)h(A); I, h(A)]=[0, 0; I, h(A)] ~ [0, 0; I, 0]
先把A化到Jordan标准型, 然后对于每个Jordan块J_i而言g(J_i)和h(J_i)至少有一个非奇异(因为g和h没有重根), 而g(J_i)h(J_i)=0, 所以这两个因子恰有一个为零, 另一个满秩. 把所有Jordan块对应的秩加一下就是结论.
再问： 您能用别的方法么？我还没学到Jordan标准型。谢谢了!
再答： 那我再给你一个办法, 不需要做域扩张 先取多项式u(x), v(x)使得u(x)g(x)+v(x)h(x)=1 然后对块对角阵[g(A), 0; 0, h(A)]做块初等变换 [g(A), 0; 0, h(A)] ~ [g(A), 0; u(A)g(A), h(A)] ~ [g(A), 0; u(A)g(A)+h(A)v(A), h(A)]=[g(A), 0; I, h(A)] ~ [0, -g(A)h(A); I, h(A)]=[0, 0; I, h(A)] ~ [0, 0; I, 0]