已知α∈(0,π/2),f(α)=1/sinα+8/cosα,则f(α)最小值为

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 21:24:55

已知α∈(0,π/2),f(α)=1/sinα+8/cosα,则f(α)最小值为
不要用均值不等式,等号不成立,不要求导,答案不是8和2根号65

凑出来了,好题目
思想如下：用n项的均值不等式,然后再用辅助角公式,等号成立条件有两个,但是n也是参数,所以等于是两个方程两个未知数,可能有解,且听我细细道来
首先8/cosα份数挺多,我想把它拆分成n等份,n是整数
即
f(α)=1/sinα+(8/n)/cosα+(8/n)/cosα+...+(8/n)/cosα
n个(8/n)/cosα
所以采用n+1项的均值不等式
(n+1)/(1/x1+1/x2+...+1/x(n+1))≤(x1+x2+...+x(n+1))/(n+1)
所以令x1=1/sinα,x2=x3=...=x(n+1)=(8/n)/cosα
再把分母的(n+1)移到另一边分子上
f(α)=1/sinα+(8/n)/cosα+(8/n)/cosα+...+(8/n)/cosα
≥(n+1)^2/[sinα+cosα/(8/n)+...+cosα/(8/n)]
=(n+1)^2/[sinα+(n^2/8)cosα]
要得到最小,则sinα+(n^2/8)cosα最大
利用辅助角t
tant=n^2/8
则
sinα+(n^2/8)cosα
=根号[1+(n^2/8)^2]sin(α+t)
最大时,参考α和t的范围有α+t=π/2
而不等式成立的条件是
1/sinα=(8/n)/cosα=...=(8/n)/cosα
即
tanα=(n/8)
而tant=tan(π/2-α)=cotα=1/tanα=n^2/8
所以n/8=1/(n^2/8)
n^3=64
n=4
很好,成功了
即tanα=1/2
所以sinα=1/根号5,cosα=2/根号5
f(α)最小值=5根号5
α=arctan(1/2)

已知α∈(0,π/2),f(α)=1/sinα+8/cosα,则f(α)最小值为已知函数f(x)=sinx,x∈[-π\2,π\2],若f(sinα)+f(cosα-1\2)=0,则sinα×cosα 【急】已知函数f(x)满足对于任意的α∈R,都有f(sinα+cosα)=sinαcosα,则f(0)+f(1)的值为_ 已知函数f(x)=sinωx+cosωx(x∈R),又f(a)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值等于π/2,则正若函数f(x)=sin ωx+√3cos ωx,x∈R,又f(α)=f(β)=2,且|α-β|的最小值为3π,则正数ω的根号3/3*（sinα*F+G）=cosα*F 求F的最小值,即当α等于多少时F最小.G为常数. 已知奇函数f(x)的周期为3,f(1)=4,tanα=2,求f(20sinαcosα)的值. 已知sinα+sinβ=1,求cosα+cosβ的最大值和最小值高中数学三角函数化简题已知 fα=sin(π-α)cos(2π-α)cos(-α+3/2π)/cos(π/2-α)sin 已知函数f(x)=sin(2x+α)+根号3cos(2x+α)(0 已知α为第三象限角,且f(α)=sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+π)/sin(π+α)tan(2π-α) 设f(α)=2sinαcosα+cosα/1+sin²α+cos(3π/2+α)-sin²(π/2+