作业帮设A为数域P上的线性空间V的线性变换,证明：
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 03:15:10
设A为数域P上的线性空间V的线性变换,证明：
①A可逆则A无0特征值；
②A可逆,则A－1与A有相同的特征向量,若λ0为A的特征值,则λ0-1为A-－1的特征值.
膜拜了,谢谢您的热心回答,再问一道证明题啊,不要显烦呀!
①A可逆则A无0特征值；
②A可逆,则A－1与A有相同的特征向量,若λ0为A的特征值,则λ0-1为A-－1的特征值.
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用反证法.若λ＝0是特征值,ξ是对应的特征向量,那么：
Aξ＝λξ＝0
于是,一方面：A^(-1)[Aξ]=A^(-1)[0]=0
另一方面：A^(-1)[Aξ]=[A^(-1)A]ξ=ξ≠0
这就得出矛盾.因此,A可逆则A无0特征值.
设ξ是λ0对应的特征向量,那么：Aξ＝λ0ξ
两边作用A^(-1)得：A^(-1)[Aξ]=A^(-1)λ0ξ
λ0A^(-1)ξ=ξ
A^(-1)ξ=(1/λ0)ξ
即：λ0-1为A-－1的特征值
Aξ＝λξ＝0
于是,一方面：A^(-1)[Aξ]=A^(-1)[0]=0
另一方面：A^(-1)[Aξ]=[A^(-1)A]ξ=ξ≠0
这就得出矛盾.因此,A可逆则A无0特征值.
设ξ是λ0对应的特征向量,那么：Aξ＝λ0ξ
两边作用A^(-1)得：A^(-1)[Aξ]=A^(-1)λ0ξ
λ0A^(-1)ξ=ξ
A^(-1)ξ=(1/λ0)ξ
即：λ0-1为A-－1的特征值
设A为数域P上的线性空间V的线性变换,证明：
设A为数域P上的n维线性空间V的线性变换,且A^2=A
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设V是数域P上的n维线性空间,W是V的子空间,证明：W是某个线性变换的核.
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