数学等差数列题设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn.已知2×a2=a1+a3,数列{√Sn}是公差为d的等差数列

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 13:00:46

数学等差数列题
设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn.已知2×a2=a1+a3,数列{√Sn}是公差为d的等差数列.
1.求数列{an}的通项公式（用n,d）表示；
2.设c为实数,对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m,n,k,不等式Sm+Sn＞c×Sk都成立.求证：c的最大值为9/2.

√Sn=√S1+(n-1)d
√S2=√S1+d
√S3=√S1+2d
第2个式子两边平方a1+a2=a1+2(√a1)d+d^2
第3个式子两边平方a1+a2+a3=a1+4(√a1)d+4d^2
两个式子相减a3=2(√a1)d+3d^2
a2=2(√a1)d+d^2
2{2(√a1)d+d^2}=a1+2(√a1)d+3d^2
a1-2(√a1)d+d^2=0
所以a1=d^2,d大于0
√Sn=√Sn-1+d
上面的式子平方an=2（√Sn-1）d+d^2
an+1=2（√Sn）d+d^2
an+1-an=2d^2
所以an=d^2+2(n-1)d^2=2nd^2-d^2
Sn=(a1+an)n/2=(nd)^2
Sm=(md)^2
Sk=(kd)^2
(nd)^2+(md)^2＞c(kd)^2
n^2+m^2>ck^2
m+n=3k,所以√(mn）