作业帮已知函数f（x）=ax+xlnx，且图象在点（1e，f（1e））处的切线斜率为自然对数的底数．
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 20:53:08
已知函数f（x）=ax+xlnx，且图象在点（
| 1 |
| e |
（Ⅰ）∵f（x）=ax+xlnx，∴f′（x）=a+1+lnx，
依题意f′(
1
e)=a=1，所以a=1．…（2分）
（Ⅱ）因为，g（x）=
f(x)−x
x−1，
g（x）=
f(x)−x
x−1=
xlnx
x−1，所以g′(x)＝
x−1−lnx
(x−1)2．
设∅（x）=x-1-lnx，
则∅′（x）=1-
1
x．…（4分）
当x＞1时，∅′（x）=1-
1
x＞0，∅（x）是增函数．
对∀x＞1，∅（x）＞∅（1）=0，
即当x＞1时，g′（x）＞0，
故g（x）在（1，+∞）上为增函数，…（6分）
当0＜x＜1时，∅′（x）=1-
1
x＜0．∅（x）是减增函数．
对∀x∈（0，1），∅（x）＞∅（1）=0，
即当0＜x＜1时，g′（x）＞0，
故g（x）在（0，1）上为增函数，
所以，g（x）的单调增区间为（0，1），（1，+∞）．…（8分）
（Ⅲ）要证
mn
nm
＞
n
m，即证
lnn
m−
lnm
n＞lnn−lnm，
即
n−1
nlnm＞
m−1
mlnn，
mlnm
m−1＞
nlnn
n−1．…（10分），
因为m＞n＞1，由（2）知，g（m）＞g（n），
所以
mn
nm
＞
n
m．…（12分）
依题意f′(
1
e)=a=1，所以a=1．…（2分）
（Ⅱ）因为，g（x）=
f(x)−x
x−1，
g（x）=
f(x)−x
x−1=
xlnx
x−1，所以g′(x)＝
x−1−lnx
(x−1)2．
设∅（x）=x-1-lnx，
则∅′（x）=1-
1
x．…（4分）
当x＞1时，∅′（x）=1-
1
x＞0，∅（x）是增函数．
对∀x＞1，∅（x）＞∅（1）=0，
即当x＞1时，g′（x）＞0，
故g（x）在（1，+∞）上为增函数，…（6分）
当0＜x＜1时，∅′（x）=1-
1
x＜0．∅（x）是减增函数．
对∀x∈（0，1），∅（x）＞∅（1）=0，
即当0＜x＜1时，g′（x）＞0，
故g（x）在（0，1）上为增函数，
所以，g（x）的单调增区间为（0，1），（1，+∞）．…（8分）
（Ⅲ）要证
mn
nm
＞
n
m，即证
lnn
m−
lnm
n＞lnn−lnm，
即
n−1
nlnm＞
m−1
mlnn，
mlnm
m−1＞
nlnn
n−1．…（10分），
因为m＞n＞1，由（2）知，g（m）＞g（n），
所以
mn
nm
＞
n
m．…（12分）
已知函数f（x）=ax+xlnx，且图象在点（1e，f（1e））处的切线斜率为自然对数的底数．
已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3
已知函数F(X)=aX+XLNX的图象的点X=E(E为自然对数的底数)处的切线斜率为3
已知函数f(x)-ax+xlnx的图像在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.（1）求实数a的值；（2）若函数
已知函数f(x)=ax+xlnx的图像在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.
已知函数f（x）=e的x次方（ax+b）的图像在点p（0.f（0））处的切线方程y=3x+1（e为自然对数的底数） （1
已知函数f（x）=ex-ax-1（a＞0,e为自然对数的底数）．
已知函数f（x）=ex-ax-1（a＞0，e为自然对数的底数）．
已知函数f（x）=ex-ax（e为自然对数的底数）
已知函数f(x)=2xe^x (e为自然对数的底数）.求曲线y=f(x)在点P[1,f(1)]处的切线方程.
已知函数f(x)=e^x-ax（e为自然对数的底数）,求函数的单调区间.
已知函数f（x）=（x+1）e-x（e为自然对数的底数）．