f(x)在[1,+∞）内有连续的导数,且满足x-1+x∫(上限x,下限1)f(t)dt=(x+1)∫(上限x,下限1)t

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 13:23:01

f(x)在[1,+∞）内有连续的导数,且满足x-1+x∫(上限x,下限1)f(t)dt=(x+1)∫(上限x,下限1)tf(t)dt,求f(x)
答案是f(x)=x^(-3)*e^(1-1/x),

原方程可化为：
x-1 = x*( [1,x]∫t*f(t)dt) + [1,x]∫t*f(t)dt - x*( [1,x]∫f(t)dt )
=x*( [1,x]∫(t-1)*f(t)dt ) + [1,x]∫t*f(t)dt --- (1)
设 F1(t) = ∫(t-1)*f(t)dt ,F2(t) = ∫t*f(t)dt,则：
F1'(t) = (t-1)*f(t)；F2‘(t) = t*f(t)；
[1,x]∫(t-1)*f(t)dt = F1(x) - F1(1)；
[1,x]∫t*f(t)dt = F2(x) - F2(1)；
方程(1) 可写为：
x-1 = x*[F1(x) - F1(1)] + F2(x)
方程两边对x求导得：
1 = [F1(x) - F1(1)] + x*(x-1)f(x) + x*f(x)
= [F1(x) - F1(1)] + x²f(x)
方程两边继续对x求导得：
0 = (x-1)f(x) + 2x*f(x) + x²f'(x)
==> f'(x)/f(x) = (1-3x)/ x²
==> [ln f(x)]' = 1/x² - 3/x
两边积分得：
ln[f(x)] = -1/x - 3lnx + lnc
==> f(x) = e^(-1/x - 3lnx + lnc)
= c* e^(-1/x) /x³
由原积分式可知,当x=0 时,有
[1,0]∫t*f(t)dt = -1
==> [0,1]∫t*c* e^(-1/t) /t³dt = 1
==> c* [0,1]∫e^(-1/t)d(-1/t) = 1
==> c* e^(-1/t)|[0,1] =1 ==> c = e
因此：
f(x) = e* e^(-1/x) /x³
= e^(1-1/x) /x³

f(x)在[1,+∞）内有连续的导数,且满足x-1+x∫(上限x,下限1)f(t)dt=(x+1)∫(上限x,下限1)t 设函数F(X)具有二阶连续导数,且满足F(X)=[微分（上限X下限0）F(1-t)dt]+1,求F(X) 设函数f(x)可导,且满足f(x)=1+2x+∫（上限x下限0）tf(t)dt-x∫（上限x下限0）f(t)dt,试求函计算∫(上限1下限0)f(x)/√x dx,其中f(x)=∫(上限x下限1)In(t+1)/t dt. 计算∫(上限1下限0)f()x/√x dx,其中f(x)=∫(上限x下限1)In(t+1)/t dt. ∫f(x)/xdx f(x)=∫（上限x 下限1）ln(t+1)/t dt 请问高数题设f(x)在(-∞,+∞)内连续,F(x)=∫(上限x,下限0) (2t-x)f(t)dt.求证:有相同单调函数f(x)连续,且x=∫ f(t)dt 积分上限是(x^3 )-1 下限是0 ,求f(7) 变限积分计算已知f(x)=∫(上限x^2下限1)e^(-t^2)dt,计算∫(上限1下限0）xf(x)dx 已知f(x)=x-2∫f(t)dt 上限1 下限0 求f(x) 变上限积分F(x)＝∫(上限x,下限0)tf（t）dt,求F(x)的导数求函数f(x)=∫（上限x,下限0）(t+1)arctant dt 的极值