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如图,在等腰直角三角形ABC中,已知AD为斜边BC上的中线,点P在BC上,但不与B、C、D相重合.作PE⊥AB,PF⊥A

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/29 04:07:33
如图,在等腰直角三角形ABC中,已知AD为斜边BC上的中线,点P在BC上,但不与B、C、D相重合.作PE⊥AB,PF⊥AC,E、F为垂足,并联结DE、DF、EF,所得的△DEF是怎样的三角形?说明理由.
三角形DEF是等腰直角三角形
证明:因为ABC是等腰直角三角形
所以角BAC=90度 AB=AC
所以角B=角C=45度
因为AD是BC边上的中线
所以 BD=CD=AD AD垂直BC AD是角BAC的平分线
所以角BAD=角CAD=45度
因为角BAC=90度
所以AC垂直AB
因为PE垂直AB
所以角PE平行AC
所以角AFE=角PEF
因为PF垂直AC AB垂直AC
所以PF平行AB
所以角AEF=角PFE
因为PE=PE
所以三角形AEF和三角形PFE全等(ASA)
所以AE=PF
因为PF垂直AC
所以角PFC=90度
因为角C=45度
因为角PFC+角FPC+角C=180度
所以角FPC=45度
所以角FPC=角C
所以PF=FC
所以AE=CF
因为角DAE=角C=45度(已证)
AD=CD(已证)
所以三角形AED和三角形CFD全等
所以角ADE=角CDF DE=DF
因为AD垂直BC(已证)
所以角ADC=角ADF+角CDF=90度
所以角ADE+角ADF=90度
因为角EDF=角ADE+角ADF
所以角EDF=90度
所以三角形DEF是等腰直角三角形
再问: 因为AD是BC边上的中线(已知) 所以 BD=CD=AD(这一步是什么原因) AD垂直BC AD是角BAC的平分线 所以角BAD=角CAD=45度
再答: 因为三角形BAC是等腰直角三角形且AD是BC边上的中线 所以:BD=CD=AD=1/2BC (等腰直角三角形的中线等于斜边的一半) AD垂直BC AD是角BAC的平分线(等腰三角形的中线,垂线,角平分线,三线合一) 角BAD=角CAD=1/2角BAC=1/2*90=45度