作业帮问一道高二椭圆方程的题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 02:57:07
问一道高二椭圆方程的题
椭圆x²/4+y²/5=1的两个焦点为F1,F2,P为椭圆的动点,
1.求|PF1|*|PF2|的最大值
2.求|PF1|-|PF2|的最大值
椭圆x²/4+y²/5=1的两个焦点为F1,F2,P为椭圆的动点,
1.求|PF1|*|PF2|的最大值
2.求|PF1|-|PF2|的最大值
椭圆x²/4+y²/5=1中,长半轴长a=√5,短半轴长b=2,半焦距c=1.
设|PF1|=s,|PF2|=t,则s+t=2a=2√5.
（1）由均值不等式可知,st≤[(s+t)/2]²=a²=5,(当且仅当s=t=√5时取等号),
∴当|PF1|=|PF2|=√5时,|PF1|×|PF2|有最大值5；
（2）s-t=s-(2a-s)=2s-2a=2(s-√5),
∵a-c≤s≤a+c,
∴√5-1≤s≤√5+1,
-1≤s-√5≤1,
-2≤2(s-√5)≤2,
∴当s=√5+1时,s-t有最大值2,
即当|PF1|=√5+1时,|PF1|-|PF2|有最大值2.
设|PF1|=s,|PF2|=t,则s+t=2a=2√5.
（1）由均值不等式可知,st≤[(s+t)/2]²=a²=5,(当且仅当s=t=√5时取等号),
∴当|PF1|=|PF2|=√5时,|PF1|×|PF2|有最大值5；
（2）s-t=s-(2a-s)=2s-2a=2(s-√5),
∵a-c≤s≤a+c,
∴√5-1≤s≤√5+1,
-1≤s-√5≤1,
-2≤2(s-√5)≤2,
∴当s=√5+1时,s-t有最大值2,
即当|PF1|=√5+1时,|PF1|-|PF2|有最大值2.