设A,B都是实数域R上的n×n矩阵,证明:AB,BA的特征多项式相等

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 18:36:52

就是要证明|λE-AB| = |λE-BA|.
考虑分块矩阵P =
E 0
-A E
与分块矩阵Q =
λE B
λA λE
可算得PQ =
λE B
0 λE-AB
有λ^n·|λE-AB| = |λE|·|λE-AB| = |PQ| = |P|·|Q|.
另一方面QP =
λE-BA B
0 λE
有λ^n·|λE-BA| = |λE-BA|·|λE| = |QP| = |Q|·|P|.
于是|λE-AB| = |λE-BA|.

设A,B都是实数域R上的n×n矩阵,证明:AB,BA的特征多项式相等设n阶矩阵A的n个特征根互异,证明：凡具有AB=BA的矩阵B,必与对角矩阵相似,且这样的B是A的多项式设A,B都是n阶矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 设A,B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA 设A B都是n阶对称矩阵,证明AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA. 设A B都是n阶对称矩阵,证明AB是对称矩阵的充分必要条件是AB＝BA 设n阶矩阵A的n个特征根互异,证明:凡具有AB=BA的矩阵B必与对角矩阵相似. 设矩阵A,B属于复数域上的n维矩阵,A,B可交换,即AB=BA,证明A的特征子空间一定是B的不变子空间设A,B都是N阶矩阵,且A可逆,证明AB与BA有相同的特征值如果A和B都是n阶是对称矩阵,并且有相同的特征多项式,证明AB相似. 设n阶矩阵A和B的特征多项式相等,则（）设A是秩数为r的n阶矩阵,证明有n阶矩阵B使得秩(B)=n-r,且AB=BA=0.(会证AB=0,但不会AB=BA=0）