问 lim x->0 √(1+xsinx)-cos/x(e^x-1) 帮我写写过程和用到的定理,

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 13:48:59

你这道题的分母是不是lim x->0 √(1+xsinx)-cosx啊,是忘了一个中括号吗?
先用等价无穷小,x->0时,（e^x-1)等价于x
原式=lim x->0 [√(1+xsinx)-cosx]/x(e^x-1)
=lim x->0 [√(1+xsinx)-cosx]/x^2
=lim x->0 (1+xsinx-cos^2x)/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 [1+xsinx-(1-sin^2x)]/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 (xsinx+sin^2x)/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 [(x+1)sinx]/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 [(x+1)x]/x^2*[√(1+xsinx)+cosx] (x->0时,sinx等价于x)
=lim x->0 (x^2+x)/x^2*[√(1+xsinx)+cosx]
=lim x->0 x^2/x^2*[√(1+xsinx)+cosx] (x->0时,x^2+x等价于x^2)
=lim x->0 1/[√(1+xsinx)+cosx]
=1/2 (将x=0带入）
再问：又是你哈，是少写了x xsinx+sin^2x怎么等于(x+1)sinx啊？
再答：提起公因式sinx，啊，不对，我犯错误了！应该是等于（x＋sinx）sinx，然后用等价无穷小，x＋sinx～2x，sinx～x，所以上式＝2x²，所以我的解答过程当中倒数第二步应该lim(x→0)2/[√(1＋xsinx)＋cosx]＝2/2＝1. 哎，这就是粗心的结果
再问：等价无穷小不是只能在乘除中用么？为什么x+sinx也能用啊？
再答：哈哈，我就怕你不问这个问题！我等的就是你问这个问题！你说得对，加减法运算一般是不能用等价无穷小的，我写x＋sinx～2x，并不是因为sinx～x，然后x＋sinx～x＋x～2x，其实不是这样的！我们知道如果limα/β＝1，那么α就是β的等价无穷小，即α～β，那么现在，把x＋sinx看做一个整体，因为lim(x→0)(x＋sinx)/2x＝lim(x→0)(1＋cosx)/2＝1，所以x＋sinx是2x的等价无穷小，所以x＋sinx～2x，现在懂了吗？

问 lim x->0 √(1+xsinx)-cos/x(e^x-1) 帮我写写过程和用到的定理, lim(x→0)x/(xsinx)=0和lim(x→0)(xsinx)/x=1 计算lim xsinx (e^1/x -1) x->∞ 求极限lim[e^xsinx-x(1+x)]/x^3 其中X趋向于0 lim x→0 1-cosx/xsinx lim(x→0)(1-cos2x)/xsinx X趋向0 lim(xsinx)/(1-cosx) lim(x→0)(1-cos4x)/xsinx lim（x→0) sinx-x(x+1)/xsinx lim(x~无穷)xsin1/x-1/xsinx 1-√cosx/xsinx 求Lim X趋向于0 x-0 lim(e^x-e^-4)/xsinx