设函数f在实数范围连续,且f[f(x)]=x,证明至少存在一点c属于实数,使得f(c)=c

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 09:58:23

用反证法.
因 f(x) 连续,且 y = x 显然连续,两个连续函数的差是连续函数,所以 f(x) - x 连续.
假设原命题不成立,就是说对任意实数 x,都有 f(x) ≠ x,因此 f(x) - x ≠ 0,
f(x) - x 连续,所以要么 f(x) - x > 0,要么 f(x) - x < 0 对一切实数都成立.
不妨假设 f(x) - x > 0 对一切实数都成立,也就是 f(x) > x 对一切实数成立.
任取 x = a,则 f(f(a)) > f(a) > a,另一方面,据题意有 f(f(a)) = a,
所以 a > f(a) > a,a > a,矛盾.
故原假设不成立,也就是说,至少有一个实数 c,使得 f(c) = c.
证毕.
再问：嘻嘻~谢谢啦
再问：明天9点多可以帮我做几道题吗？
再答：嗯，你可以向我的团队提问。来自团队武夷山 http://zhidao.baidu.com/team/view/%CE%E4%D2%C4%C9%BD
再问：我怎么问这个团队呢？
再问：谢谢啦
再答：点那个链接，然后点左边图片下面的“向TA提问”即可。
再问：不好意思啊！我点不开那个连接
再问：链接
再答：那你直接向我提问好了。
再问：嗯呢！谢谢
再问：

再问：

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