作业帮证明两数环的交是数环,两个数域的交是数域,还有就是两数环的并不一定是数环,两数域的并不一定是数域
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 12:48:49
证明两数环的交是数环,两个数域的交是数域,还有就是两数环的并不一定是数环,两数域的并不一定是数域
两个环的交集是环不难证明（前提是它们上面的加法运算和乘法运算相同,且有同一个0元素和乘法单位元）,那么域也一样,用定义验证即可；
至于并,直接给你举反例好了,全体首项系数为2^n的多项式组成一个环,首项系数为3^n的多项式组成一个环,它们的并首项系数不是2^n就是3^n,但是加入乘法它们的首项系数应该是2^i*3^j才对；再看域,Zp,Zq分别是整数模p,q的完全剩余系,它们各自是一个域,但是它们的并却不是.
此外,代数里面还有数环这个概念?一般都是称为环和域的.
再问： 可不可以帮我写详细过程，
再答： 就写环的交为环好了。。。设R和S是两个环，有同样的加法运算和乘法运算，也有同样的0元素和乘法单位元1。。。设T=R∩S，对任意的a,b∈T，有a+b,a*b∈R，S,所以a+b,a*b∈R∩S=T（封闭性得证）；因为R，S均满足乘法结合律，所以对任意的a,b,c∈S∩R=T也满足结合律（结合律得证），同理加法交换和结合律也得证；考虑乘法单位元1，既然1同时存在于R、S，所以1∈T（单位元存在得证）；最后证明加法逆元-a存在——任取a∈T，则-a∈R且-a∈S，所以-a∈R∩S=T。
综上所述R∩S是一个环。
至于并,直接给你举反例好了,全体首项系数为2^n的多项式组成一个环,首项系数为3^n的多项式组成一个环,它们的并首项系数不是2^n就是3^n,但是加入乘法它们的首项系数应该是2^i*3^j才对；再看域,Zp,Zq分别是整数模p,q的完全剩余系,它们各自是一个域,但是它们的并却不是.
此外,代数里面还有数环这个概念?一般都是称为环和域的.
再问： 可不可以帮我写详细过程，
再答： 就写环的交为环好了。。。设R和S是两个环，有同样的加法运算和乘法运算，也有同样的0元素和乘法单位元1。。。设T=R∩S，对任意的a,b∈T，有a+b,a*b∈R，S,所以a+b,a*b∈R∩S=T（封闭性得证）；因为R，S均满足乘法结合律，所以对任意的a,b,c∈S∩R=T也满足结合律（结合律得证），同理加法交换和结合律也得证；考虑乘法单位元1，既然1同时存在于R、S，所以1∈T（单位元存在得证）；最后证明加法逆元-a存在——任取a∈T，则-a∈R且-a∈S，所以-a∈R∩S=T。
综上所述R∩S是一个环。
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