在△ABC中,∠A＞∠B＞∠C,且∠A=2∠B.若三角形的三边长为整数,面积也为整数,求△ABC面积的最小值

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 22:35:53

由于A＋B＋C=180°,将A=2B代入得3B＋C=180°①,所以C=180°-3B,由于0＜C＜B,所以0＜180°-3B＜B,即45°＜B＜60°②；由A=2B得90°＜A＜120°③；另外由①得B=60-C/3,C＜B,所以C＜60-C/3,即C＜45°④；设角A、B、C对应的边分别为a、b、c,三角形的面积为S,则S=(1/2)bcsinA=(1/2)casinB=(1/2)absinC⑤,由于a、b、c、S均为整数,所以sinA、sinB、sinC均为有理数；由⑤及sinA=sin(2B)=2sinBcosB得a=2bcosB⑥,由此可知cosB也是有理数；由余弦定理得a^2=b^2＋c^2-2bccosA,将⑥及A=2B代入得4b^2(cosB)^2=b^2＋c^2-2bccos2B=b^2＋c^2-2bc[2(cosB)^2-1],所以cosB=(1/2)√[(b＋c)/b]⑦,所以sinB=√[1-(cosB)^2]=(1/2)√[(3b-c)/b]⑧；由于c＜b,所以b不能整除b＋c、b不能整除3b-c,又由于cosB和sinB均为有理数,所以由⑦、⑧知b、b＋c、3b-c均为平方数,所以可设b=m^2⑨、b＋c=n^2、3b-c=l^2,所以c=n^2-m^2⑩,n^2＋l^2=(2m)^2⑩',m、n、l为整数；⑩'式的一组整数解为n=6、l=8、m=5,代入⑨、⑩得b=25⑩''、c=11⑩''',代入⑦、⑧得cosB=3/5、sinB=4/5(B≈53.13°),所以sinA=sin2B=2sinBcosB=24/25(A≈106.26°),sinC=sin(180°-3B)=sin3B=44/125(C≈20.61°),由⑥得a=30⑩''''；由⑤得三角形的面积为S=(1/2)bcsinA=(1/2)×25×11×(24/25)=132⑩'''''；由⑩''、⑩'''、⑩''''可知a、b、c互素(最大公约数为1),且各角的正、余弦均为有理数,所以⑩'''''式即为满足题中条件的三角形面积的最小值.

在△ABC中,∠A＞∠B＞∠C,且∠A=2∠B.若三角形的三边长为整数,面积也为整数,求△ABC面积的最小值在△ABC中,∠A=120° （1）若三边长为整数且构成等差数列,求△ABC的面积的最小值直角三角形ABC中,∠C=90,三条边均为整数,并且三角形的周长等于面积,求三边长 Rt△ABC三边a,b,c均为整数,且周长的数量与面积的数量相等,则这个三角形的三边长是已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且均为整数,a,b满足根号a-3+b的平方=4b-4,求c的长及△ABC的面积在三角形ABC中,角A=120度.(1)若三边长为整数且构成等差数列,求三角形ABC的面积的最小值.(2)已知AD是三角若△ABC三边a,b,c的长为整数,且a≤b≤c,已知a+b+c=13,这样的三角形有几个? 在△ABC中,三边长分别为a,b,c,且都是整数,b>a>c,b=6,则满足条件的三角形的个数为（）个?A.2个 B.3 在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c是三角形的三边,若a:b=1:2,且c=根号5,求△ABC的面积在锐角三角形ABC中,三边长a,b,c均为整数,且a小于b小于c,a+b+c=20.求角b的度数在三角形ABC中,最大角A为最小角C的2倍,且三边a,b,c为三个连续的整数,求a,b,c 若△abc三边长a.b.c均为整数,且1\a+1\b+3\ab=4\1,a+b-c=8,设△abc的面积为S,则S最大值