已知函数f(x)=x+1/x,①判断并证明f(x)分别在x∈（0,1）和x∈（1,正无穷大）上的单调性；

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 07:40:17

已知函数f(x)=x+1/x,①判断并证明f(x)分别在x∈（0,1）和x∈（1,正无穷大）上的单调性；
②当x∈[½,a]时,f(x)∈[2,5/2],求a的取值范围.
（第一问已求出,在x∈（0,1）上是减函数,在x∈（1,正无穷大）上是增函数,如有错误请指出）谢谢!

(1)f(x)在区间（0,1）上单调递减；在区间（1,﹢∞）上的单调递增
证明：
(1)设0＜x1＜x2＜1
∵f(x1)－f(x2)＝x1＋1/x1－x2－1/x2＝(x1－x2)＋(x2－x1)/(x1x2)＝(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)
∵0＜x1＜x2＜1 ∴x1－x2＜0 0＜x1x2＜1 x1x2－1＜0
∴(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)＞0 ∴f(x1)－f(x2)＞0 ∴f(x1)＞f(x2)
∴f(x)在区间（0,1）上单调递减
(2)设x2＞x1＞1
∵f(x1)－f(x2)＝x1＋1/x1－x2－1/x2＝(x1－x2)＋(x2－x1)/(x1x2)＝(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)
∵x2＞x1＞1 ∴x1－x2＜0 x1x2＞1 x1x2－1＞0
∴(x1－x2)(x1x2－1)/(x1x2)＜0 ∴f(x1)－f(x2)＜0 ∴f(x1)＜f(x2)
∴f(x)在区间（1,﹢∞）上的单调递增
(2)因为当x∈[½,a]时,f(x)∈[2,5/2],且f(x)在区间（1/2,1）上单调递减,在区间（1,﹢∞）上的单调递增
2≤f(a)≤5/2,即2≤a+1/a≤2,解得1≤a≤2
再问：额，，回答中的“2≤f(a)≤5/2,即2≤a+1/a≤2，解得1≤a≤2”是不是应为2≤ a²+1/a ≤5/2 呢？
再答： f(a)=a+1/a,怎么变成 a² 呢？
再问：额，，a+ 1/a = a²/a + 1/a =a²+1 /a 假设是2≤ a+1/a ≤5/2 的话应该算出 2/3 ≤ a ≤ 1。。。。 2≤ a²+1/a ≤5/2算出1≤a≤2。。。
再答：我写的a+1/a就是(a²+1)/a 你的a²+1/a 应该这样写：a²+(1/a )
再问： Ok，懂了，多谢多谢！！！
再答：恩，懂了就好....，望采纳

已知函数f(x)=x+1/x,①判断并证明f(x)分别在x∈（0,1）和x∈（1,正无穷大）上的单调性；判断并证明f(x)=x/x2+1在(0,正无穷大)的单调性已知函数f（x)=2的x次方分之1+二分之1,判断f（x)在区间(o,正无穷大)上的单调性,并证明. 已知函数f（x)=x+1\x/判断并证明函数在区间【1,正无穷大) 上的单调性判断函数f(x)=x+x分之一在（1,正无穷大）上的单调性,并证明你的结论判断并证明f(x)=x/(x2+1)在(0,正无穷大)上的单调性已知函数f（x）=x+1/x 1.判断f（x）在（0,正无穷）上的单调性并证明 2.求f（x）的定义域和值域已知函数f(x)=x分之X的平方+2x+a,X属于[1 ,+正无穷大],判断并证明函数的单调性判断并证明函数f(x)=x-1/x+2在(2,正无穷大)上的单调性,并画出其大致图像给定函数f(x)=x-1/x,用定义证明f(x)在(0,正无穷大)的单调性 1.已知f（x）=根号x的平方-1.,试判断f（x）在【1,+无穷大）上的单调性,并证明. 已知函数f(x)=2x+1 /x-3 判断函数f(x)在区间(3,正无穷)上的单调性,并证明