作业帮数学高手来啊!一道简单的中学函数题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/10 01:49:26
数学高手来啊!一道简单的中学函数题
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a,b,c满足a>b>c,且f(1)=0.1) 求证:(1)两函数的图象交于不同的两点A,B
(2)设A(x1,y1)B(x2,y2)B,求|x1-x2|取值范围
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c和一次函数g(x)=-bx,其中a,b,c满足a>b>c,且f(1)=0.1) 求证:(1)两函数的图象交于不同的两点A,B
(2)设A(x1,y1)B(x2,y2)B,求|x1-x2|取值范围
（1）因为f(1)=0,所以a+b+c=0
又因为a>b>c
所以a＞0,c＜0
b=-(a+c)
令ax^2+bx+c=-bx
所以ax^2+2bx+c=0
ax^2-2(a+c)x+c=0
△=4(a+c)^2-4ac
因为a＞0,c＜0,所以-4ac＞0
所以△＞0
所以两函数图像必然交于两点
（2）由（1）得x1+x2=2(a+c)/a=2+2c/a
x1·x2=c/a
令c/a=k,则k＜0
|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1·x2=(2+2k)^2-4k
=4k^2+4k+4
=4(k+1/2)^2+3
所以当且仅当k=-1/2时,上式取最小值3
所以|x1-x2|取值范围为[√3,+∞)
再问： 我第二问和你算的不一样，|x1-x2|=2√a^2+ac+c^2=2√{(a-1/2c)^2+3/4c^2}/a^2最后算的2√3，哪里算错了
再答： |x1-x2|=2√a^2+ac+c^2=2√{(a-1/2c)^2+3/4c^2}/a^2 你注意到，根号里面大括号里最后是3/4c^2，所以根号里最小值是3/4，开根号变成√3/2，再乘以2就得√3了
再问： 谢谢你的回答，但还是有点不懂，根号下是{(a-1/2c)^2+3/4c^2}/a^2，为什么最小值是3/4？能不能写完整些。我认为配方后应该是当a=1/2c的时候有最小值，将此带入根号里得3。 就是这个问题，为什么不能这样配方求最小值，谢谢了！
再答： 上次回答你的追问时没有仔细看，现在发现你配方时配错了 |x1-x2|=2√(a^2+ac+c^2)/a^2 到这里应该把式子用换元法改一下，或者把a^2先除进去，然后把c/a看做整体 要不然按你原来的配方过后得到 |x1-x2|=2√a^2+ac+c^2=2√{(a+c/2)^2+3/4·c^2}/a^2 当a=-c/2时原式有最小值，这个最小值是3c^2/4a^2 但事实上这个3c^2/4a^2不是最小值，因为在你取a=-c/2时已经影响了3c^2/4a^2最后的结果 如果你不是取a=-c/2而是取c=-a/2的话，那么对于3c^2/4a^2来说前者等于3而后者等于3/16，那你说你应该取前者还是后者？明显取后者的时候得到的答案要小很多。 其实在这里你忽略了一个关键点，在二次函数取最值的时候，前面完全平方式里的取值不能影响最后常数项的值才行。否则你前面的平方虽然取到最小值为0，但是你此时已经在无形中把后边的值扩大了n倍，这样算出来就不一定是最小值了。 换元法是数学中化繁为简的技巧，一定要灵活运用
又因为a>b>c
所以a＞0,c＜0
b=-(a+c)
令ax^2+bx+c=-bx
所以ax^2+2bx+c=0
ax^2-2(a+c)x+c=0
△=4(a+c)^2-4ac
因为a＞0,c＜0,所以-4ac＞0
所以△＞0
所以两函数图像必然交于两点
（2）由（1）得x1+x2=2(a+c)/a=2+2c/a
x1·x2=c/a
令c/a=k,则k＜0
|x1-x2|^2=(x1+x2)^2-4x1·x2=(2+2k)^2-4k
=4k^2+4k+4
=4(k+1/2)^2+3
所以当且仅当k=-1/2时,上式取最小值3
所以|x1-x2|取值范围为[√3,+∞)
再问： 我第二问和你算的不一样，|x1-x2|=2√a^2+ac+c^2=2√{(a-1/2c)^2+3/4c^2}/a^2最后算的2√3，哪里算错了
再答： |x1-x2|=2√a^2+ac+c^2=2√{(a-1/2c)^2+3/4c^2}/a^2 你注意到，根号里面大括号里最后是3/4c^2，所以根号里最小值是3/4，开根号变成√3/2，再乘以2就得√3了
再问： 谢谢你的回答，但还是有点不懂，根号下是{(a-1/2c)^2+3/4c^2}/a^2，为什么最小值是3/4？能不能写完整些。我认为配方后应该是当a=1/2c的时候有最小值，将此带入根号里得3。 就是这个问题，为什么不能这样配方求最小值，谢谢了！
再答： 上次回答你的追问时没有仔细看，现在发现你配方时配错了 |x1-x2|=2√(a^2+ac+c^2)/a^2 到这里应该把式子用换元法改一下，或者把a^2先除进去，然后把c/a看做整体 要不然按你原来的配方过后得到 |x1-x2|=2√a^2+ac+c^2=2√{(a+c/2)^2+3/4·c^2}/a^2 当a=-c/2时原式有最小值，这个最小值是3c^2/4a^2 但事实上这个3c^2/4a^2不是最小值，因为在你取a=-c/2时已经影响了3c^2/4a^2最后的结果 如果你不是取a=-c/2而是取c=-a/2的话，那么对于3c^2/4a^2来说前者等于3而后者等于3/16，那你说你应该取前者还是后者？明显取后者的时候得到的答案要小很多。 其实在这里你忽略了一个关键点，在二次函数取最值的时候，前面完全平方式里的取值不能影响最后常数项的值才行。否则你前面的平方虽然取到最小值为0，但是你此时已经在无形中把后边的值扩大了n倍，这样算出来就不一定是最小值了。 换元法是数学中化繁为简的技巧，一定要灵活运用