请问刘老师,求矩阵的特征值,可以先用初等行列变换将其化为最简,再带入兰木达,这题计算量太大了

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 17:17:10

对于3阶方阵,可参考以下解三中的做法来求特征值.由于有举例,故此例不详算了.请谅解.
解一:
特征多项式f(t)=|t*E-A|=0
此即得关于t的一元三次方程.
求解三个t值即是.可能有重根.
或用-f(t)=|A-t*E|=0 也是一样的.
解二:
|A+t*E|=0
解此关于t的一元三次方程.
求解三个t值.可能有重根.
再取相反数即是所求.
这样在计算是方便一点点.
解三参考:
以下tr表示矩阵的迹(即主对角线元素之和); A*表示伴随阵; det表示行例式的值.
特征多项式f(t)=|t*E-A| 习惯上一般用λ.为了打字方便有时我用t.
如果A是1阶矩阵, 易见特征值就是A本身.
如果A是2阶矩阵, 特征多项式可以写为λλ-tr(A)λ+det(A).
如果A是3阶矩阵, 特征多项式可以写为λλλ-tr(A)λλ+tr(A*)λ-det(A).
其中tr(A*)=各阶主子行列式之和.
如果A是4阶矩阵, 特征多项式可以写为λλλλ-tr(A)λλλ+cλλ-tr(A*)λ+det(A), 其中c = ((tr(A))^2-tr(AA))/2.
于是
A=
2 -1 2
5 -3 3
-1 0 -2
故
A=ttt-(2-3-2)tt+(6+-2+-1)t-(2*6-5*2+-1*3)=ttt+3tt+3t+1
很显然A=(t+1)^3,有三重根-1.
即矩阵有三重特征值 -1
用解三来做,举个例子,上面的题目未加详算,请谅解.
-A=
-2 1 -2
-5 3 -3
1 0 2
|tE-A|
=
det
t-2 1 -2
-5 t+3 -3
1 0 t+2
=
(t-2)*(t+3)(t+2)
-(-5)*(t+2)
+ 1*(1*(-3)-(-2)*(t+3))
=ttt+3tt+3t+1
=(t+1)^3
故原矩阵A 有一个三重特征值 t=-1

请问刘老师,求矩阵的特征值,可以先用初等行列变换将其化为最简,再带入兰木达,这题计算量太大了求矩阵的特征值和特征向量时,是否可以先通过初等行变换,或者是列变换,再求解用矩阵的初等变换求矩阵化为标准型线性代数小问题对于任意的矩阵A,运用初等变换将其化为下三角阵之后,对角线上的元素是否就是它的特征值? 求教：用矩阵的初等行变换将下面的矩阵化为行阶梯形线性代数题,（用矩形的初等行变换将下列矩阵化为最简形矩阵）右侧手写为答案, 用初等变换将矩阵化为标准形用初等变换将矩阵A化为标准形矩阵经过初等行变换后,特征值改变了,那为什么在求矩阵的特征值时,还能用初等行变换? 初等变换求矩阵特征值发展历史用初等行变换,将矩阵化为阶梯形及行最简形,并求出矩形的秩矩阵初等变换求特征值书上说,上下三角阵、对角阵的主对角线上的元素为它的特征值!那问一个矩阵可不可以通过初等变换化为上下三