定义域在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(1)=2,则f(-3)=?

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 05:20:24

定义域在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(1)=2,则f(-3)=?
解：令x=1,y=0,代入已知条件得
f(1+0)=f(1)+f(0)+2*1*0,即 f(0)=0,
令y=-x,代入已知条件得
f(x-x)=f(x)+f(-x)+2*x*(-x),整理得
f(-x)=2x^2-f(x) (1)
令x=1,y=1代入已知条件得
f(1+1)=f(1)+f(1)+2*1*1=2+2+2=6,即f(2)=6,
令x=2,y=1代入已知条件得
f(2+1)=f(2)+f(1)+2*2*1=12,即f(3)=12
所以,令x=3代入等式（1）中得
f(-3)=2*3^2-f(3)=18-12=6
我的问题是：为什么要令x=1,y=0；y=-x；等等.
具体思路是怎样的?

从题目和问题双方向入手：已知f(1)=2,那么就假设x+y=1,谁是1谁是0没关系,重点是能得到一个新的可知条件f(0)=0,再由此推x+y=0,可以得到 f(-x)=2x^2-f(x).此时可以看到,出现了f(-x),和问题f(-3)的形式是一样的,那么,只要求得f(3)即可.就用已得到的关系f(1)=2,f(0)=0,不断的假设,可求得f(3),最后得到f(-3)=6
这其实是一类问题的解决方法,可以慢慢学习

定义域在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,f(1)=2,则f(-3)=? 已知函数f(x)是定义域在R+上的减函数且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(根号2）=1 定义域在R上的函数f(x+y)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy (x,y属于R) 已知f(1)=2 求f(- 定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy（x,y∈R）,f(1)=2,则f(-3)=? 定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y属于R)f(1)=2则f(-3) 急用, f(x) 在定义域（0,正无穷）上是增函数,满足f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y).求不等式f(x)+f(x- 定义域在R上的函数fx满足f(x+y)=fx+fy+2xy,f(1)=2,则f(-3)=? 定义域在R上的函数fx满足f(x+y)=fx+fy+2xy,f(1)=2,则f(-3)=? 各位帮帮忙急! 设函数y=f(x)是定义在R+上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2^2)=1 已知函数F(X)在定义域R上为增函数,且满足 F(XY)=F(X)+F(Y),F(3)=1,F(A)>-F(A-1)+2 设函数y=f(x)是定义在R*上的减函数,并且满足f（xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1,f(x)+f(2-x y=f(x)是定义在R+上的减函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2根号2）=1