设A是m行n列的矩阵,且线性方程组Ax = b有解.证明:A的转置的列空间R(A^T)必有Ax = b的解,且有且仅有一
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/28 12:49:03
设A是m行n列的矩阵,且线性方程组Ax = b有解.证明:A的转置的列空间R(A^T)必有Ax = b的解,且有且仅有一
设A是m行n列的矩阵,且线性方程组Ax = 证明:A的转置的列空间R(A^T)中必有一个向量~它是Ax = 而且这个向量是唯一的
设A是m行n列的矩阵,且线性方程组Ax = 证明:A的转置的列空间R(A^T)中必有一个向量~它是Ax = 而且这个向量是唯一的
给定线性空间Rn,则A的行向量张成它的子空间,记为U,记U的维数为s.赋予标准内积,使Rn化为欧氏空间,题目等价于证明存在唯一的u∈U,使u与A的每一个行向量的内积都等于对应的b的元素.
首先,由于标准内积限制在U上仍然对称非退化,故Rn可表示为U和U的正交补(记为U')的直和.
另一方面,由线性方程理论知,Ax=b的解可表为此方程的特解和它对应齐次方程通解的和.而Ax=b对应的齐次方程Ax=0的解空间维数为n-s,正好是U'的维数.而且Ax=0的解空间中,每个向量均与U正交,故Ax=0的解空间正是U'.
再者,由Ax=b有解知,存在y∈Rn,使Ay=b.若y∈U,那存在性已获证.若y不属于U,则存在u∈U,u'∈U',使y=u+u'.但Ax=0的解空间是U',故存在Ax=0的解向量张成u'.故u=y-u'仍是原方程的解.存在性得证.
下证唯一性,这是显然的.若存在u''∈U也满足题目条件.由u,u''∈U知u-u''∈U.由u-u''是Ax=0的解知u-u''∈U',但U∩U'=Φ,矛盾.
首先,由于标准内积限制在U上仍然对称非退化,故Rn可表示为U和U的正交补(记为U')的直和.
另一方面,由线性方程理论知,Ax=b的解可表为此方程的特解和它对应齐次方程通解的和.而Ax=b对应的齐次方程Ax=0的解空间维数为n-s,正好是U'的维数.而且Ax=0的解空间中,每个向量均与U正交,故Ax=0的解空间正是U'.
再者,由Ax=b有解知,存在y∈Rn,使Ay=b.若y∈U,那存在性已获证.若y不属于U,则存在u∈U,u'∈U',使y=u+u'.但Ax=0的解空间是U',故存在Ax=0的解向量张成u'.故u=y-u'仍是原方程的解.存在性得证.
下证唯一性,这是显然的.若存在u''∈U也满足题目条件.由u,u''∈U知u-u''∈U.由u-u''是Ax=0的解知u-u''∈U',但U∩U'=Φ,矛盾.
设A是m行n列的矩阵,且线性方程组Ax = b有解.证明:A的转置的列空间R(A^T)必有Ax = b的解,且有且仅有一
线性代数证明题27.设A是m×n实矩阵,n<m,且线性方程组Ax=b有惟一解.证明ATA是可逆矩阵.证明的是A的转置矩阵
向量组证明问题设A,B分别为m*r,r*n阶矩阵,且AB=0,求证(1)B的各列向量是齐次线性方程组AX=0的解(2)若
设A为M*N矩阵,且非齐次线性方程组AX=b有唯一解,为什么则r(A)=n
设线性方程组AX=B有3个不同的解,r1r2r3,且R(A)=n-2,n是未知数的个数,则() 选什么为什么
A是mn矩阵,A的秩是m小于n,则非齐次线性方程组AX=b必有无穷多解...求证明..
设线性方程组AX=有解,其中A是m乘n介矩阵.证明:AX=B有唯一解的充要条件是A转置与A的乘积是正定的.
设A是m乘n矩阵,齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是.A的列向量线性无关
设A是m×n矩阵,非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是r(A)=m
设A是m*n矩阵,B是n*s矩阵,x是列向量,证明:AB=O的充分必要条件是B的每一列都是齐次线性方程组AX=O的解
设A是m*n矩阵,非齐次线性方程组Ax=b有解的充分条件是
设A为n阶矩阵,b为n维列向量,证明Ax=b有唯一解的充分必要条件是A可逆