作业帮单调有界定理和证明过程（构造性证明）
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 13:19:41
单调有界定理和证明过程（构造性证明）
单调有界定理
【单调有界定理】
若数列{an}递增（递减）有上界（下界）,则数列{an}收敛,即单调有界函数必有极限.
【运用范围】
（1）单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性,如何求极限需用其他方法； （2）数列从某一项开始单调有界的结论依然成立,这是因为改变数列有限项不改变数列的极限.
按照课本上的说明：【单调有界定理】 在实数系中,有界的单调数列必有极限.
证明：不妨设{an}为有上界的递增数列.有确界原理,数列{an}有上确界,记为a=sup{an}
. 任给e>0,按上确界定义,存在数列中的每一项aN,使得a-e=N时有
a-e
【单调有界定理】
若数列{an}递增（递减）有上界（下界）,则数列{an}收敛,即单调有界函数必有极限.
【运用范围】
（1）单调有界定理只能用于证明数列极限的存在性,如何求极限需用其他方法； （2）数列从某一项开始单调有界的结论依然成立,这是因为改变数列有限项不改变数列的极限.
按照课本上的说明：【单调有界定理】 在实数系中,有界的单调数列必有极限.
证明：不妨设{an}为有上界的递增数列.有确界原理,数列{an}有上确界,记为a=sup{an}
. 任给e>0,按上确界定义,存在数列中的每一项aN,使得a-e=N时有
a-e