作业帮勾股数为什么非得是正整数?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 17:07:13
勾股数为什么非得是正整数?
人类对于勾股数的认识可以说是源远流长,在古代的四大文明
古国(中国、埃及、印腰、和巴比伦)的史册里鄙有勾股数的记载.到 底是谁最早发现,岁月的风尘已淹没了许许多多历史的真相,但它 的发现确是人类伟大而永远的财富.
在教学研究中,我发现勾股数存在如下的规律：
1)如果a．b、C是一组勾股数,那么h、kb、kc也是一组勾股数
(其中的“k”是正整数).比如3、4、5是一组勾股数(k是“2“或“3”), 则6、8、10；9、12、15等必然也是勾股数.验证得知：由222abc．
所以222222222222()()()()kakbkakbkabkckc.
2)如果a=2n-1,b=2n,c=2n+l(n>1),那么a、b、c是勾股数.验证 一下：因为22222422222(1)4124(1)abnnnnnnc 所以a、b、c是勾股数.但因2n+l与2n-1只差2,所以像7、
24、25这样的勾股数就不能由这个公式给出,这一公式还是有其局 限性的.
3)对于5、12、13；7、24、25；9、40、41；1l、60、61等这样的勾股教 可以由公式a=2n+l；b=22n+2n,c=22n+2n+l得到,这容易由勾股定 理的逆定理得到验证.
通过观察分析上述勾股数,我还发现了勾股数的一些特点： 第一．如果直角三角形的短直角边为奇数,那么另一直角边和 斜边是两个连续的自然数.
第二.一个直角三角形的周长等于短直角的平方与短边自身 的和.
例如：直角三角形的三条边长是正整数,其中一条短直角边的 长度为13,求这个直角三角形的周长.
由上述特点一设这个直角三角形三个边分别是13、x、x+l,
则有：169+2x =2
x+1（）,解得x=84,那么此直角三角形的周长是：
13+84+85=182.
由上述特点二此直角三角形是以奇数为短直角边构成的直 角三角形,因此周长是169+13=182.
4)若x---2p +pq．Y=,z=2p+则x．y、z是勾殷数,此公式涵盖了自然 界的全部勾股数.
5)与勾股数有关的还有如下表达式.
(1)2222:::()/2:()/2abcmnmnmn (m、n为奇数)； (2)a=m,b=(2m-1)/2,c=(2m+1)/2 (m为奇数)；
(3)a=,b=+m,C=+m+n,(2mn为完全平方数),这里的正整数 a、b、c都满足22ab=2c.
6其实质三边是整数的直角三角形的情形就是解不定方程222xyz, 由躜此处x>O,y>O,z>O．且假定x,y互质,即（x,y）=1并且容易验证x、y中
一定是一日錾一双,不妨假定x是双数,则此不定方程—切正整数解,可以用
下列公式表示出来：x=2mn,y=22()mn,z=22mn．2(m>n>0),(m,n)=1,
m、n一单一双.
另外,勾股数组a,b、c有许多有趣的性质：
(I)a和b必然一个是奇数,一个是偶数,c必然是奇数； (2)a、b中必有一个是3的倍数； (3)a,b中必有一个是4的倍数； (4)a、b、c中必有一个是5的倍数； (5)8bc是60的倍数；
(6)a、b、c是连续自然数的只有3．4、5； (7)a、b、c构成等差数列的只有3,4、5等等.
通过查阅有关资料,我们还可知道很多勾股数的性质,在教学 中,我提醒同学们一定要掌握一些常见的勾股数组,以便今后学习 时使用.下面是我给出的a,b、c三数都小于100的勾股数,共有17 组.它们是：
3t4、5 5、12,13 7、24,25 16,63、65
1l、60、61 12、35、37 13、84、85 39、80、89 28、45、53 33、56、65 36、77、85 9、40、41 57、76、95 65、72、97 8、15、17 20、2l、29 48、55、73
趣味勾股数：88209、90288、126225,它是由297、304、425乘以 297而成.
斜边是1885的勾股数有四组： 427、1836、1885 003、1596、1885 1643、924、1885 1813、516、1885
古国(中国、埃及、印腰、和巴比伦)的史册里鄙有勾股数的记载.到 底是谁最早发现,岁月的风尘已淹没了许许多多历史的真相,但它 的发现确是人类伟大而永远的财富.
在教学研究中,我发现勾股数存在如下的规律：
1)如果a．b、C是一组勾股数,那么h、kb、kc也是一组勾股数
(其中的“k”是正整数).比如3、4、5是一组勾股数(k是“2“或“3”), 则6、8、10；9、12、15等必然也是勾股数.验证得知：由222abc．
所以222222222222()()()()kakbkakbkabkckc.
2)如果a=2n-1,b=2n,c=2n+l(n>1),那么a、b、c是勾股数.验证 一下：因为22222422222(1)4124(1)abnnnnnnc 所以a、b、c是勾股数.但因2n+l与2n-1只差2,所以像7、
24、25这样的勾股数就不能由这个公式给出,这一公式还是有其局 限性的.
3)对于5、12、13；7、24、25；9、40、41；1l、60、61等这样的勾股教 可以由公式a=2n+l；b=22n+2n,c=22n+2n+l得到,这容易由勾股定 理的逆定理得到验证.
通过观察分析上述勾股数,我还发现了勾股数的一些特点： 第一．如果直角三角形的短直角边为奇数,那么另一直角边和 斜边是两个连续的自然数.
第二.一个直角三角形的周长等于短直角的平方与短边自身 的和.
例如：直角三角形的三条边长是正整数,其中一条短直角边的 长度为13,求这个直角三角形的周长.
由上述特点一设这个直角三角形三个边分别是13、x、x+l,
则有：169+2x =2
x+1（）,解得x=84,那么此直角三角形的周长是：
13+84+85=182.
由上述特点二此直角三角形是以奇数为短直角边构成的直 角三角形,因此周长是169+13=182.
4)若x---2p +pq．Y=,z=2p+则x．y、z是勾殷数,此公式涵盖了自然 界的全部勾股数.
5)与勾股数有关的还有如下表达式.
(1)2222:::()/2:()/2abcmnmnmn (m、n为奇数)； (2)a=m,b=(2m-1)/2,c=(2m+1)/2 (m为奇数)；
(3)a=,b=+m,C=+m+n,(2mn为完全平方数),这里的正整数 a、b、c都满足22ab=2c.
6其实质三边是整数的直角三角形的情形就是解不定方程222xyz, 由躜此处x>O,y>O,z>O．且假定x,y互质,即（x,y）=1并且容易验证x、y中
一定是一日錾一双,不妨假定x是双数,则此不定方程—切正整数解,可以用
下列公式表示出来：x=2mn,y=22()mn,z=22mn．2(m>n>0),(m,n)=1,
m、n一单一双.
另外,勾股数组a,b、c有许多有趣的性质：
(I)a和b必然一个是奇数,一个是偶数,c必然是奇数； (2)a、b中必有一个是3的倍数； (3)a,b中必有一个是4的倍数； (4)a、b、c中必有一个是5的倍数； (5)8bc是60的倍数；
(6)a、b、c是连续自然数的只有3．4、5； (7)a、b、c构成等差数列的只有3,4、5等等.
通过查阅有关资料,我们还可知道很多勾股数的性质,在教学 中,我提醒同学们一定要掌握一些常见的勾股数组,以便今后学习 时使用.下面是我给出的a,b、c三数都小于100的勾股数,共有17 组.它们是：
3t4、5 5、12,13 7、24,25 16,63、65
1l、60、61 12、35、37 13、84、85 39、80、89 28、45、53 33、56、65 36、77、85 9、40、41 57、76、95 65、72、97 8、15、17 20、2l、29 48、55、73
趣味勾股数：88209、90288、126225,它是由297、304、425乘以 297而成.
斜边是1885的勾股数有四组： 427、1836、1885 003、1596、1885 1643、924、1885 1813、516、1885