作业帮一道有关导数的证明题,
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/26 22:14:17
一道有关导数的证明题,
对于函数f(x),若lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)存在,是否f'(x)必存在?
对于函数f(x),若lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)存在,是否f'(x)必存在?
不一定存在的,要紧扣导数的定义啊,若lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x)]/(△x),则f'(x)必存在
但是lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)存在,只能说明f'(x+△x)存在
但反过来,若f'(x)存在,则lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)存在
因为 lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)+f(x)-f(x-△x)]/(△x)
=2f'(x)
再问： 这位前辈，你讲解的很好，但我还是有一个不太清楚的地方 lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)存在，是怎么得出f'(x+△x)存在这个结论的？
再答： 那是因为lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)=lim2*[f(x+△x)-f(x-△x)]/((x+△x)-(x-△x)= 2f'(x+△x) 注意导数的定义，它是函数值的差值除以对应自变量的差值，再取极限得到的结果 不知道你是否明白。导数的定义是很严格的，这里给出的只是某一点处导数值存在的定义，注意只是这一个点，在它的小邻域内这个函数是否存在导数还是个未知数。不管怎样，都要抓住导数的定义来证明。 导数定义有以下几种形式：（1）若lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x)]/(△x)存在，则f'(x)必存在 （2）若lim(x→x0) [f(x+)-f(x0)]/(x-x0)存在，则f'(x0)必存在 注意灵活运用
但是lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)存在,只能说明f'(x+△x)存在
但反过来,若f'(x)存在,则lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)存在
因为 lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)=lim(△x→0)[f(x+△x)-f(x)+f(x)-f(x-△x)]/(△x)
=2f'(x)
再问： 这位前辈，你讲解的很好，但我还是有一个不太清楚的地方 lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)存在，是怎么得出f'(x+△x)存在这个结论的？
再答： 那是因为lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x-△x)]/(△x)=lim2*[f(x+△x)-f(x-△x)]/((x+△x)-(x-△x)= 2f'(x+△x) 注意导数的定义，它是函数值的差值除以对应自变量的差值，再取极限得到的结果 不知道你是否明白。导数的定义是很严格的，这里给出的只是某一点处导数值存在的定义，注意只是这一个点，在它的小邻域内这个函数是否存在导数还是个未知数。不管怎样，都要抓住导数的定义来证明。 导数定义有以下几种形式：（1）若lim(△x→0) [f(x+△x)-f(x)]/(△x)存在，则f'(x)必存在 （2）若lim(x→x0) [f(x+)-f(x0)]/(x-x0)存在，则f'(x0)必存在 注意灵活运用