作业帮数学无图题,别说必须有图,很急,不会勿扰,多谢
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 17:34:26
数学无图题,别说必须有图,很急,不会勿扰,多谢
已知过抛物线y^2=2px(p＞0）的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点,求三角形RAB的最大面积
已知过抛物线y^2=2px(p＞0）的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点,求三角形RAB的最大面积
直线斜率和经过的点都是确定的
所以直线是确定的
所以AB的长是定值
即底边是定值
所以只要高最大即可
做AB的平行线
显然和抛物线相切时,辆平行线距离最大
即高最大
平行线斜率是1
y=x+b
代入y²=2px
x²+(2b-2p)x+b²=0
相切则判别式等于0
4(b-p)²-4b²=0
-2bp+p²=0
p不等于0
b=p/2
x²-px+p²/4=0
x=p/2
所以切点(p/2,p)
F(p/2,0)
AB是y=x-p/2
代入
x²-3px+p²/4=0
x1+x2=3p
准线x=-p/2
则A到准线距离=x1-(-p/2)=x1+p/2
B到准线距离=x2+p/2
由抛物线定义
到准线距离等于到焦点距离
所以AB=AF+BF
=A到准线距离+B到准线距离
=x1+x2+p
=4p
切点(p/2,p)
到y=x-p/2距离=|p/2-p-p/2|/√2=p/√2
即高=p/√2
所以面积=4p*p/√2÷2=√2p²
所以直线是确定的
所以AB的长是定值
即底边是定值
所以只要高最大即可
做AB的平行线
显然和抛物线相切时,辆平行线距离最大
即高最大
平行线斜率是1
y=x+b
代入y²=2px
x²+(2b-2p)x+b²=0
相切则判别式等于0
4(b-p)²-4b²=0
-2bp+p²=0
p不等于0
b=p/2
x²-px+p²/4=0
x=p/2
所以切点(p/2,p)
F(p/2,0)
AB是y=x-p/2
代入
x²-3px+p²/4=0
x1+x2=3p
准线x=-p/2
则A到准线距离=x1-(-p/2)=x1+p/2
B到准线距离=x2+p/2
由抛物线定义
到准线距离等于到焦点距离
所以AB=AF+BF
=A到准线距离+B到准线距离
=x1+x2+p
=4p
切点(p/2,p)
到y=x-p/2距离=|p/2-p-p/2|/√2=p/√2
即高=p/√2
所以面积=4p*p/√2÷2=√2p²