作业帮关于一个解析几何方程（非高中解析几何）
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/26 16:08:07
关于一个解析几何方程（非高中解析几何）
有这么一题,求椭圆周5x^2+8xy+5y^2=9的长短半轴之长
这个方程为何是椭圆方程?
如何变换得到标准椭圆方程
即如何变化及变化后的结果是什么
有这么一题,求椭圆周5x^2+8xy+5y^2=9的长短半轴之长
这个方程为何是椭圆方程?
如何变换得到标准椭圆方程
即如何变化及变化后的结果是什么
(1)首先研究一下直角坐标系的旋转,假设有直角坐标系x-o-y经过逆时针旋转角度A,形成新的坐标系X-O-Y.在复平面来看,旧坐标系一点坐标（x,iy）对应新坐标系一点（X,iY）,关系是：
（x + iy）（cosA + isinA）= X + iY
X = xcosA - ysinA
Y = xsinA + ycosA
这是一个转换关系公式,由于旋转的相对性,公式中（X,Y）和（x,y）可以相互交换,只是角度方向定义不同而已.（复数形式的推导相对简单,其他方法也可以证明.）
(2)假设新旧坐标转换关系如下:
x = XcosA - YsinA
y = XsinA + YcosA
将x,y代入原式子化简：
5x^2 +8 x y + 5y^2 = 9
5 X^2 + 5 Y^2 + 8 X Y Cos[2 A] + 4 X^2 Sin[2 A] - 4 Y^2 Sin[2 A]=9
选择A=45°,则：
5 X^2 + 5 Y^2 + 4 X^2 - 4 Y^2 = 9
9 X^2 + Y^2 =9
X^2/1^2 + Y^2/3^2 = 1
这是一个标准的椭圆方程,长半轴是3,短半轴是1 .
新坐标系逆时针旋转45°和原坐标系重合.
（ok）
（x + iy）（cosA + isinA）= X + iY
X = xcosA - ysinA
Y = xsinA + ycosA
这是一个转换关系公式,由于旋转的相对性,公式中（X,Y）和（x,y）可以相互交换,只是角度方向定义不同而已.（复数形式的推导相对简单,其他方法也可以证明.）
(2)假设新旧坐标转换关系如下:
x = XcosA - YsinA
y = XsinA + YcosA
将x,y代入原式子化简：
5x^2 +8 x y + 5y^2 = 9
5 X^2 + 5 Y^2 + 8 X Y Cos[2 A] + 4 X^2 Sin[2 A] - 4 Y^2 Sin[2 A]=9
选择A=45°,则：
5 X^2 + 5 Y^2 + 4 X^2 - 4 Y^2 = 9
9 X^2 + Y^2 =9
X^2/1^2 + Y^2/3^2 = 1
这是一个标准的椭圆方程,长半轴是3,短半轴是1 .
新坐标系逆时针旋转45°和原坐标系重合.
（ok）