如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+16x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/30 13:56:26

如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax²+

（1）∵二次函数y=ax²+
1
6x+c的图象经过点B（-3，0），M（0，-1），
∴

9a+
1
6×(−3)+c＝0
c＝−1，
解得a=
1
6，c=-1．
∴二次函数的解析式为：y=
1
6x²+
1
6x-1．

（2）由二次函数的解析式为：y=
1
6x²+
1
6x-1，
令y=0，得
1
6x²+
1
6x-1=0，
解得x₁=-3，x₂=2，∴C（2，0），∴BC=5；
令x=0，得y=-1，∴M（0，-1），OM=1．
又AM=BC，∴OA=AM-OM=4，∴A（0，4）．
设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，
则y_D=
1
6x²+
1
6x-1=OA=4，
解得x₁=5，x₂=-6（位于第二象限，舍去）
∴D点坐标为（5，4）．
∴AD=BC=5，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形．
即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形．
设直线BD解析式为：y=kx+b，∵B（-3，0），D（5，4），
∴

−3k+b＝0
5k+b＝4，
解得：k=
1
2，b=
3
2，
∴直线BD解析式为：y=
1
2x+
3
2．

（3）在Rt△AOB中，AB=
OA2+OB2=5，又AD=BC=5，∴▱ABCD是菱形．
①若直线l⊥BD，如图1所示．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC∥直线l，
∴
BA
BP＝
BC
BQ＝
BN
BD＝
1
2，
∵BA=BC=5，
∴BP=BQ=10，
∴
1
BP+
1
BQ=
1
10+
1
10=
1
5；
②若l为满足条件的任意直线，如图2所示，此时①中的结论依然成立，理由如下：
∵AD∥BC，CD∥AB，
∴△PAD∽△DCQ，
∴
AP
CD＝
AD
CQ，
∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25．
∴
1
BP+
1
BQ
=
1
AB+AP+
1
BC+CQ
=
1
5+AP+
1
5+CQ
=
(5+AP)+(5+CQ)
(5+AP)(5+CQ)
=
10+AP+CQ
25+5(AP+CQ)+AP•CQ
=
10+AP+CQ
50+5(AP+CQ)
=
1
5．