如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为（3,0）

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 23:49:49

如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为（3,0）,与y轴交于C（0,-3）点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标；若不存在,请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．

（1）运用待定系数法将B（3,0）,C（0,-3）两点的坐标代入y=x2+bx+c,求出解析式即可；
（2）将四边形ABPC的面积,面积分割为S△AOC+S△OCP+S△OPB求出三个三角形的面积即可得出；
（3）根据菱形的性质,得出y=- 32,（负2分之3）,x的值,从而得出P点的坐标．
（1）将B（3,0）,C（0,-3）两点的坐标代入y=ax2-2x+c得：
{9a-6+c=0c=-3
解得：{a=1c=-3,
∴二次函数的表达式为：y=x2-2x-3；
（2）当点P运动到抛物线顶点时,连接AC,PC,PB,做PM⊥AB,PN⊥OC,
∵二次函数的表达式为y=x2-2x-3；
∴P点的坐标为（1,-4）,即PN=1,PM=4,还可得出OB=3,OC=3,AO=1,
∴四边形ABPC的面积=S△AOC+S△OCP+S△OPB
= 12×AO×OC+ 12×PN×OC+ 12PM×OB,（12是2分之1）
= 12×1×3+ 12×1×3+ 12×4×3,
=9；
（3）存在点P,使四边形POP′C为菱形,设P点坐标为（x,y）,
PP′交CO于E,若使四边形POP′C是菱形,
则有PC=PO,连接PP′,则PM⊥CO于M,
∴OM=MC= 32,（32为2分之3,下面的也是）
∴y=- 32．
∴x2-2x-3=- 32,
解得：x1= 2+102,x2= 2-102（不合题意舍去）,
∴P点的坐标为（ 2+102,- 32）．P点坐标为（2加上根号10除以2,负2分之3）