作业帮请问椭圆的投影还是椭圆吗
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/30 01:45:53
请问椭圆的投影还是椭圆吗
椭圆的投影（不与投影面垂直）还是椭圆,证明如下：
设椭圆柱的方程为：
在oxyz坐标系中
x^2/a^2+y^2/b^2=1 (1)
投影面的方程为：
OXYZ坐标系中
Z=0 (2)
ox轴在OXYZ坐标系中的方向余弦为n1,n2,n3,
oy轴在OXYZ坐标系中的方向余弦为m1,m2,m3,
则根据坐标系变换公式,得椭圆的投影（即方程组(1),(2)的解）
(n1X+n2Y)^2/a^2+(m1X+m2Y)^2/b^2=1,整理后得
[(n1^2+m1^2)/a^2]X^2+2[n1n2/a^2+m1m2/b^2]XY+[(n2^2+m2^2)/b^2]Y^2-1=0,
令a=(n1^2+m1^2)/a^2,b= n1n2/a^2+m1m2/b^2,c=(n2^2+m2^2)/b^2,则上面方程为
aX^2+2bXY+cY^2-1=0 (2)
因为当椭圆面不与投影面垂直时（即椭圆柱轴不平行投影面时）,ac-b^20,故方程(3)表示的曲线是椭圆.
所以,椭圆的投影（不与投影面垂直）还是椭圆.
设椭圆柱的方程为：
在oxyz坐标系中
x^2/a^2+y^2/b^2=1 (1)
投影面的方程为：
OXYZ坐标系中
Z=0 (2)
ox轴在OXYZ坐标系中的方向余弦为n1,n2,n3,
oy轴在OXYZ坐标系中的方向余弦为m1,m2,m3,
则根据坐标系变换公式,得椭圆的投影（即方程组(1),(2)的解）
(n1X+n2Y)^2/a^2+(m1X+m2Y)^2/b^2=1,整理后得
[(n1^2+m1^2)/a^2]X^2+2[n1n2/a^2+m1m2/b^2]XY+[(n2^2+m2^2)/b^2]Y^2-1=0,
令a=(n1^2+m1^2)/a^2,b= n1n2/a^2+m1m2/b^2,c=(n2^2+m2^2)/b^2,则上面方程为
aX^2+2bXY+cY^2-1=0 (2)
因为当椭圆面不与投影面垂直时（即椭圆柱轴不平行投影面时）,ac-b^20,故方程(3)表示的曲线是椭圆.
所以,椭圆的投影（不与投影面垂直）还是椭圆.