已知函数f（x）=x3+ax2+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P（-1，1）．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 16:16:37

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+2与直线4x-y+5=0切于点P（-1，1）．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若x∈[1，2]时，不等式f（x）≥mx²-x-2恒成立，求实数m的取值范围．

（Ⅰ）由题意得：f′（x）=3x²+2ax+b，
∴

f′(−1)＝4
f(−1)＝1，即

3−2a+b＝4
−1+a−b+2＝1，
解得：a=b=-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=x³-x²-x+2，
∵f（x）≥mx²-x-2，x∈[1，2]，
∴m≤
x3−x2+4
x2，即m≤x+
4
x2-1，
令g（x）=x+
4
x2-1，x∈[1，2]，
∴g′（x）=1-
8
x3，
当x∈[1，2]时，g′（x）≤0，
∴g（x）在[1，2]上是减函数，
∴g（x）_min=g（2）=2，
∴m≤2．