数列&解三角形

数列重要知识点、例题及一般常考题 解三角形重要知识点、例题及一般常考题

解题思路： 见附件
解题过程：
三角函数解题方法 2010.11.1 一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形 基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有: （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如，，， ，等） 如1）已知，，那么的值是_____。 2）已知，且，，求值。 3）已知为锐角，，，则与的函数关系为______ （答：1）；2）；3）） (2)三角函数名互化(切化弦)， 如1）求值 （答：1）； 2）已知，求的值 （答：） (3)公式变形使用。 如1）已知A、B为锐角，且满足，则＝_____ （答：）； 2)设中，，，则是____三角形 （答：等边） (4)三角函数次数的降升 如1)若，化简为_____ （答：）； 2）函数的单调递增区间为___________ （答：） (5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。 如1）求证：； 2）化简： （答：） (6)常值变换主要指“1”的变换（等）， 如已知，求 （答：）. (7)正余弦“三兄妹—”的内存联系——“知一求二”， 如1）若 ，则 __ （答：)，特别提醒：这里； 2）若，求的值。 （答：）； 3）已知，试用表示的值 （答：）。 （7）、辅助角公式（收缩代换）的应用：(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由确定)在求最值、化简时起着重要作用。 如（1）若方程有实数解，则的取值范围是___________. （答：[－2,2]）； （2）当函数取得最大值时，的值是______ (答：)； （3）如果是奇函数，则= (答：－2)； （4）求值：________ (答：32) 二、三角函周期的求法 1．定义法： 定义：一般地ｙ＝c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时， ｆ（ｘ＋T）＝ｆ（ｘ） 都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。 例1．求函数y=3sin（）的周期 解：∵y=f（x）=3sin（）=3sin（+2） 　　=3sin（）=3sin[] = f（x+3） 这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3，且必增加到x+3时，函数值重复出现。 ∴函数y=3sin（）的周期是T=3。 2．公式法： （1）如果所求周期函数可化为y=Asin（）、y=Acos（）、ｙ＝tg（）形成（其中A、、为常数，且A0、＞0、R），则可知道它们的周期分别是：、、。 例2：求函数y=1-sinx+cosx的周期 解：∵y=1-2（ sinx-cosx） 　　=1-2（cossinx-sin cosx） 　　=1-2sin（x-） 这里=1　　∴周期T=2 （2）如果f（x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinx、cosx、tgx的形式，再确定它的周期。 例3：求f（x）=sinx·cosx的周期 解：∵f（x）=sinx·cosx=sin2x 这里=3，∴f（x）=sinx·cosx的周期为T= 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期（转化法） 例4 求函数的周期 解： ∴ ． 例5 已知函数求周期 解：∵ ∴ ． 4、遇到绝对值时，可利用公式 , 化去绝对值符号再求周期 例6 求函数 的周期 解：∵ ∴ ． 三、三角函数最值问题的几种常见类型 1.利用三角函数的有界性求最值 利用正弦函数、余弦正数的有界性：∣sinx∣≤1,∣cosx∣≤1,可求形如y=Asin(ωx+φ),y=Acos(Asin(ωx+φ)(A≠0, φ≠0)的函数最值. 例:已知函数y=cos²x+sinxcosx+1,x∈R,当函数y取得最大值时，求自变量x的集合. 解散y=(2cos²x-1)++(2sinxcosx)+1 =cos2x+sin2x+ =sin(2x+)+ y得最大值必须且只需2x+=+2kπ，k∈Z.即 x=+kπ, k∈Z. 所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为 {x|x=+ kπ, k∈Z.} 2.反函数法 例:求函数的值域 [分析] 此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，先用反解法，再用三角函数的有界性去解。 解法一：原函数变形为，可直接得到：或 解法一：原函数变形为或 3.配方法—---转化为二次函数求最值 例：求函数y=f(x)=cos²2x-3cos2x+1的最值. 解 ∵f(x)=(cos2x-)²-, ∴当cos2x=1,即x= kπ,(k∈Z)时，y=min=-1, 当cos2x=-1,即x= kπ+,( k∈Z)时，y=max=5. 这里将函数f(x)看成关于cos2x的二次函数，就把问题转化成二次函数在闭区间[-1，1]上的最值值问题了. 4.引入辅助角法 y=asinx+bcosx型处理方法：引入辅助角　，化为y=sin（x+）,利用函数即可求解。Y=asinx+bsinxcosx+mcosx+n型亦可以化为此类。 例：已知函数当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。 [分析] 此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解。 解： 5. 利用数形结合 例： 求函数的最值。 解：原函数可变形为 这可看作点的直线的斜率，而A是单位圆上的动点。由下图可知，过作圆的切线时，斜率有最值。由几何性质， 6、换元法 例：若0<x<，求函数y=(1+)(1+)的最小值. 解 y=(1+)(1+) =1+ 令 sinx+cosx=t(1<t≤), 则sinx·cosx=， ∴y=1+===1+, 由1<t≤,得y≥3+2, ∴函数的最小值为3+2. 7. 利用函数在区间内的单调性 例： 已知，求函数的最小值。 [分析] 此题为型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。 设，在（0，1）上为减函数，当t=1时，。 8. 利用基本不等式法 利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区。 例： 求函数的最值。 解：= 当且仅当即时，等号成立，故。 9. 利用图像性质 例： 求函数的最大值和最小值。 分析：函数的解析式可以变换成关于的二次函数，定义域为，应该讨论二次函数对应的抛物线的对称轴相对于区间的位置，才能确定其最值。 解： 设 10. 判别式法 例10 求函数的最值。 [分析] 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。 解： 时此时一元二次方程总有实数解 由y=3，tanx=-1， 由 11. 分类讨论法 含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。 例 ： 设，用a表示f(x)的最大值M(a). 解：令sinx=t,则 （1） 当，即在[0，1]上递增， （2） 当即时，在[0，1]上先增后减， （3） 当即在[0，1]上递减， 附： 1．y=asinx+bcosx型的函数 『特点』含有正余弦函数，并且是一次式 『方法』解决此类问题的指导思想是把正、余弦函数转化为只有一种三角函数。应用课本中现成的公式即可：y=sin(x+j)，其中tgj=. （2005年广东高考第15题） 值域 2．y=asin²x+bsinxcosx+cos²x 型的函数。 『特点』含有sinx, cosx的二次式 『方法』处理方式是降幂，再化为型1的形式来解。 2005辽宁高考18题 何值时面积最大？ 3．y=asin²x+bcosx+c型的函数 『特点』含有sinx, cosx，并且其中一个是二次 『方法』应用sin²x+cos²x=1,使函数式只含有一种三角函数，再应用换元法，转化成二次函数来求解。 （2005年浙江高考第8题） 已知k<-4,则函数y=cos2x+k（cosx-1）的最小值是（ ） A. 1 B. –1 C. 2k+1 D. –2k+1 4．y=型的函数 『特点』一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。几乎所有的分式型都可以通过分子，分母的化简，最后整理成这个形式 『方法』多样，可以自己任意选择 例4．求函数y=的最大值和最小值。 解法1：原解析式即：sinx-ycosx=2-2y, 即sin(x+j)=， ∵ |sin(x+j)|≤1, ∴≤1，解出y的范围即可。 解法2：表示的是过点(2, 2)与点(cosx, sinx)的斜率，而点(cosx, sinx)是单位圆上的点，观察图形可以得出在直线与圆相切时取极值。 解法3：应用万能公式设t=tg() 则y= 即(2-3y)t²-2t+2-y=0 根据Δ≥0解出y的最值即可。 6．含有sinx与cosx的和与积型的函数式。 『特点』含有或经过化简整理后出现sinx+cosx与sinxcosx的式子 『方法』处理方式是应用(sinx+cosx)²=1+2sinxcosx进行转化，变成二次函数的问题。 例6．求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值。 解：令sinx+cosx=t,(-≤t≤)，则1+2sinxcosx=t²所以 2sinxcosx=t²-1, 所以y=t²-1+t=(t+)²-. 根据二次函数的图象，解出y的最大值是1+。 四、三角函数的图象变换 函数的图象变换涉及三种基本变换： 1．相位变换：把的图象上所有点向左（当>0时）或向右（当<0时）平移||个单位，得到的图像。 2．周期变换：把的图象上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的倍（纵坐标不变），得到的图像。 3．振幅变换：把的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变），得到的图像。 函数y=Asin（ωx＋φ）的图像可由y=sinx的图像经过如下变换而得到： 其中相位变换中平移量|φ|个单位，φ＞0时，向左移，φ＜0时向右移；周期变换中的纵坐标不变，横坐标为原来的倍；振幅变换中，横坐标不变，而纵坐标变为原来的A倍． 例：把函数的图像适当变动就可以得到y=sin(－3x)的图像，这种变动可以是（　） A.向右平移　　　　　　　　B.向左平移 C.向右平移　　　　　　　　D.向左平移 解析：∵， 　　∵按“左加右减”的规律，把函数y=sin(－3x)的图像向右平移能得到函数的图像， 　　∴反过来，把函数的图像平移成函数y=sin(－3x)的图像只需向左平移，故选D. 　　当变换顺序改变后，即先周期变换，后相位变换时，平移量变为个单位． 图象变换过程还可表述为： 　　 　　 　 即 例：要得到的图象，只需将函数的图象 （ ）个单位长度 　 （A）向左平移 （B）向右平移 （C）向左平移 （D）向右平移 　 分析： 因为，由图象变换可知应将函数的图象向右平行移动，移动单位为，即有，于是选（D）。 变式：要得到的图像，只需将的图像（ ）个单位长度 （A）向左平移 （B）向右平移 （C）向左平移 （D）向右平移 分析：因为，即，所以选（C）。 评注：进行图像变换时应切记无论是哪种变换都是对字母x而言的，注意到这一点就无须担心到底是先作相位变换还是先作周期变换。 五、三角函数y=Asin（ωx+φ）中的对称 　１．函数的图象既是中心对称图形（关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称），的对称中心是，，对称轴为．特殊地，原点是其一个对称中心．的对称中心是，，对称轴为，．特殊地，轴是其一条对称轴． 　　 2．函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为． 3．正弦函数y=sinx的对称轴是x=k+（k∈Z），它的对称轴总是经过它图象的最高点或者最低点。由于三角函数y=是由正弦函数y=sinx复合而成的，所以令=k+，就能得到y=的对称轴方程x=（k∈Z）。通过类比可以得到三角函数y=的对称轴方程x=（k∈Z）。 １．正向应用 所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式，求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题． 例１　函数 的对称轴方程是（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：令，得． 故选（Ａ）． ２．逆向应用 所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值． 例３　函数的图象关于原点中心对称，则（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解：∵函数图象关于原点中心对称，且， ∴函数图象过原点，即． ，即． 故选（Ｂ）． 3．综合运用 例４　已知函数是上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值． 解：是偶函数， 轴是其对称轴，即轴经过函数图象的波峰或波谷， ， 又，． 由的图象关于点对称， ，即， 又，． 当时，， 在上是减函数； 当时，， 在上是减函数； 当时，， 在 上不是单调函数． 综上所述，或． 说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．的图象关于点对称亦可转化为，再令得到，再得到． 六、解三角形 1．直角三角形中各元素间的关系： 如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 （1）三边之间的关系：a²＋b²＝c²。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。 2．斜三角形中各元素间的关系： 如图6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。 （1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 。 （R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a²＝b²＋c²－2bccosA；b²＝c²＋a²－2cacosB；c²＝a²＋b²－2abcosC。 3．三角形的面积公式： （1）△＝ah_a＝bh_b＝ch_c（h_a、h_b、h_c分别表示a、b、c上的高）； （2）△＝absinC＝bcsinA＝acsinB； （3）△＝＝＝； （4）△＝2R²sinAsinBsinC。（R为外接圆半径） （5）△＝； （6）△＝；； （7）△＝r·s。 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是： 设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。 （1）角与角关系：A+B+C = π； （2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b； （3）边与角关系： 正弦定理 （R为外接圆半径）； 余弦定理 c² = a²+b²－2bccosC，b² = a²+c²－2accosB，a² = b²+c²－2bccosA； 它们的变形形式有：a = 2R sinA，，。 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。 （1）角的变换 因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r为三角形内切圆半径，p为周长之半。 （3）在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。 【典例解析】 题型1：正、余弦定理 （2009岳阳一中第四次月考）.已知△中，，，，，，则 （ ） A.． B ． C． D． 或 答案 C 例1．（1）在中，已知，，cm，解三角形； （2）在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。 解析：（1）根据三角形内角和定理， ； 根据正弦定理， ； 根据正弦定理， （2）根据正弦定理， 因为＜＜，所以，或 ①当时， ， ②当时， ， 点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 例2．（1）在ABC中，已知，，，求b及A； （2）在ABC中，已知，，，解三角形 解析：（1）∵ =cos = = ∴ 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： 解法一：∵cos ∴ 解法二：∵sin 又∵＞＜∴＜，即＜＜ ∴ （2）由余弦定理的推论得： cos ； cos ； 点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围。 题型2：三角形面积 例3．在中，，，，求的值和的面积。 解法一：先解三角方程，求出角A的值。 又, , 。 解法二：由计算它的对偶关系式的值。 ① , ② 　 ①　+　②　得　　。 　 ①　－　②　得　　。 从而　。 以下解法略去。 点评：本小题主要考查三角恒等变形、三角形面积公式等基本知识，着重数学考查运算能力，是一道三角的基础试题。两种解法比较起来，你认为哪一种解法比较简单呢？ 例4．（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ， 的取值范围为 答案 2 解析 设由正弦定理得 由锐角得， 又，故， 例5．（2009浙江理）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，． （I）求的面积； （II）若，求的值． 解 （1）因为，，又由 得， （2）对于，又，或，由余弦定理得 ， 例6．（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b 分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2) 过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分. 解法一：在中则由正弦定理及余弦定理有:化简并整理得：.又由已知.解得. 解法二:由余弦定理得: .又,. 所以 ① 又， ，即 由正弦定理得，故 ② 由①，②解得. 评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练 题型4：三角形中求值问题 例7．的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。 解析：由A+B+C=π，得=－，所以有cos =sin。 cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin² + 2sin=－2(sin － )²+ ； 当sin = ，即A=时, cosA+2cos取得最大值为。 点评：运用三角恒等式简化三角因式最终转化为关于一个角的三角函数的形式，通过三角函数的性质求得结果。 例8．（2009浙江文）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，． （I）求的面积； （II）若，求的值． 解（Ⅰ） 又，，而，所以，所以的面积为： （Ⅱ）由（Ⅰ）知，而，所以 所以 点评：本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及倍角公式，考察应用、分析和计算能力 题型5：三角形中的三角恒等变换问题 例9．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a²－c²=ac－bc，求∠A的大小及的值。 分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边的关系，故可用余弦定理。由b²=ac可变形为=a，再用正弦定理可求的值。 解法一：∵a、b、c成等比数列，∴b²=ac。 又a²－c²=ac－bc，∴b²+c²－a²=bc。 在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。 在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b²=ac，∠A=60°， ∴=sin60°=。 解法二：在△ABC中， 由面积公式得bcsinA=acsinB。 ∵b²=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b²sinB。 ∴=sinA=。 评述：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理。 例10．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。 解析：因为A、B、C成等差数列，又A＋B＋C＝180°，所以A＋C＝120°， 从而＝60°，故tan.由两角和的正切公式， 得。 所以 。 点评：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解，同时结合三角变换公式的逆用。 题型6：正、余弦定理判断三角形形状 例11．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（ ） A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 答案：C 解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC， ∴sin（A－B）＝0，∴A＝B 点评：本题考查了三角形的基本性质，要求通过观察、分析、判断明确解题思路和变形方向，通畅解题途径 例12．（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且 （I）求的值； （II）若，求的值。 解（I）∵为锐角， ∴ ∵ ∴ （II）由（I）知，∴ 由得 ，即 又∵ ∴ ∴ ∴ 题型7：正余弦定理的实际应用 例13．（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449） 解:在△ABC中，∠DAC=30°, ∠ADC=60°－∠DAC=30, 所以CD=AC=0.1 又∠BCD=180°－60°－60°=60°， 故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， 在△ABC中， 即AB= 因此，BD= 故B，D的距离约为0.33km。 点评：解三角形等内容提到高中来学习，又近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，但也不可太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可过关。 （2）（（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤 解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角；B点到M， N的俯角；A，B的距离 d （如图所示） . ②第一步：计算AM . 由正弦定理　； 第二步：计算AN . 由正弦定理　； 第三步：计算MN. 由余弦定理 . 方案二：①需要测量的数据有： A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的俯角，；A，B的距离 d （如图所示）. ②第一步：计算BM . 由正弦定理　； 第二步：计算BN . 由正弦定理　； 第三步：计算MN . 由余弦定理 21.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且 （I）求的值； （II）若，求的值。 解（I）∵为锐角， ∴ ∵ ∴ （II）由（I）知，∴ 由得 ，即 又∵ ∴ ∴ ∴ 点评：三角函数有着广泛的应用，本题就是一个典型的范例。通过引入角度，将图形的语言转化为三角的符号语言，再通过局部的换元，又将问题转化为我们熟知的函数，这些解题思维的拐点，你能否很快的想到呢？ 【思维总结】 1．解斜三角形的常规思维方法是： （1）已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b； （2）已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = π，求另一角； （3）已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况； （4）已知三边a、b、c，应余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。 2．三角形内切圆的半径：，特别地，； 3．三角学中的射影定理：在△ABC 中，，… 4．两内角与其正弦值：在△ABC 中，，… 5．解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来帮助理解”。 . 近几年高考题可见数列题命题有如下趋势： 1.等差（比）数列的基本知识是必考内容，这类问题既有选择题、填空题，也有解答题；难度易、中、难三类皆有. 2.数列中a_n与S_n之间的互化关系也是高考的一个热点. 3.函数思想、方程思想、分类讨论思想等数学思想方法在解决问题中常常用到，解答试题时要注意灵活应用. 4.解答题的难度有逐年增大的趋势,还有一些新颖题型,如与导数和极限相结合等. 因此复习中应注意： 1.数列是一种特殊的函数，学习时要善于利用函数的思想来解决.如通项公式、前n项和公式等. 2.运用方程的思想解等差（比）数列，是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量a₁、d（或q），掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算. 3.分类讨论的思想在本章尤为突出.学习时考虑问题要全面，如等比数列求和要注意q=1和q≠1两种情况等等. 4.等价转化是数学复习中常常运用的，数列也不例外.如a_n与S_n的转化；将一些数列转化成等差（比）数列来解决等.复习时，要及时总结归纳. 5.深刻理解等差（比）数列的定义，能正确使用定义和等差（比）数列的性质是学好本章的关键. 6.解题要善于总结基本数学方法.如观察法、类比法、错位相减法、待定系数法、归纳法、数形结合法，养成良好的学习习惯，定能达到事半功倍的效果. 7．数列应用题将是命题的热点，这类题关键在于建模及数列的一些相关知识的应用. 【考点透视】 1．理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项. 2．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解答简单的问题. 3．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能运用公式解决简单的问题. 4．数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决. 【例题解析】 考点1 正确理解和运用数列的概念与通项公式 理解数列的概念,正确应用数列的定义，能够根据数列的前几项写出数列的通项公式. 典型例题 例1．在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2，3，4，…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f (n)表示第n堆的乒乓球总数，则；（答案用n表示）. 分析：从图中观察各堆最低层的兵乓球数分别是12,3,4, …推测出第n层的球数。 解：显然. 第n堆最低层（第一层）的乒乓球数，，第n堆的乒乓球数总数相当于n堆乒乓球的低层数之和，即 所以： 例2．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0-1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第 行；第61行中1的个数是 ． 第1行　　　　　 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……………………………………… 分析：计算图形中相应1的数量的特征，然后寻找它们之间的规律。 解：第1次全行的数都为1的是第=1行，第2次全行的数都为1的是第=3行，第3次全行的数都为1的是第=7行，······，第次全行的数都为1的是第行；第61行中1的个数是 =32． 应填，32 考点2 数列的递推关系式的理解与应用 在解答给出的递推关系式的数列问题时，要对其关系式进行适当的变形 ，转化为常见的类型进行解题。如“逐差法”若且；我们可把各个差列出来进行求和，可得到数列的通项. 再看“逐商法”即且，可把各个商列出来求积。 另外可以变形转化为等差数列与等比数列，利用等差数列与等比数列的性质解决问题。 例3．数列中，，（是常数，），且成公比不为的等比数列． （I）求的值；（II）求的通项公式． 分析：（1）由成公比不为的等比数列列方程求； （2）可根据递推公式写出数列的前几项，然后分析每一项与该项的序号之间的关系，归纳概括出an与n之间的一般规律，从而作出猜想，写出满足前4项的该数列的一个通项公式. 解：（I），，， 因为成等比数列，所以，解得或． 当时，，不符合题意舍去，故． （II）当时，由于 ， ， ，， 所以． 又，，故． 当时，上式也成立， 所以． 小结：从特殊的事例，通过分析、归纳、抽象总结出一般规律，再进行科学地证明，这是创新意识的具体体现，这种探索问题的方法，在解数列的有关问题中经常用到，应引起足够的重视. 例4．已知数列满足，，…．若， 则 ( B ) （Ａ） （Ｂ） ３ （Ｃ） ４ （Ｄ） ５ 思路启迪：对递推关系变形，运用叠加法求得，特别注意的是对两边同时运用. 解答过程：， . 相叠加. ， . ， ， ，. 解答过程2：由得： ， ，因为. 所以：. 解答过程3：由得： …………， 从而 ；；……；. 叠加得：. ， . ， 从而. 小结：数列递推关系是近几年高高数学的热点，主要是一些能转化为等差等比数列的递推关系式。对连续两项递推，可转化为 ；对连续三项递推的关系 如果方程有两个根，则上递推关系式可化为 或. 考点3 数列的通项与前n项和之间的关系与应用 与的关系：，数列前n项和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件，求通项时一定要验证是否适合。解决含与的式子问题时，通常转化为只含或者转化为只的式子. 例5． 在等比数列中,,前项和为,若数列也是等比数列,则等于（ ） (A) (B) (C) (D) 点评：本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。 过程指引因数列为等比，则，因数列也是等比数列，则 即，所以，故选择答案C. 例6.已知在正项数列{a _n}中，S _n表示前n项和且，求a _n. 分析：转化为只含或者只含的递推关系式. 解1：由已知，得当n=1时，a₁=1；当n≥2时， a _n= S _n－S _n－1，代入已知有，. ，又，故. ，是以1为首项，1为公差的等差数列， 故. 解2：由已知，得当n=1时，a₁=1；当n≥2时 因为，所以. ， ，因为， 所以，所以. 考点4 等差、等比数列的概念与性质的理解与应用 在等差、等比数列中，已知五个元素或，中的任意三个，运用方程的思想，便可求出其余两个，即“知三求二”。本着化多为少的原则，解题时需抓住首项和公差（或公比）。另外注意等差、等比数列的性质的运用.例如 （1）等差数列中，若，则；等比数列中，若，则 . （2）等差数列中，成等差数列。其中是等差数列的前n项和；等比数列中（），成等比数列。其中是等比数列的前n项和； （3）在等差数列中，项数n成等差的项也称等差数列. （4）在等差数列中，； . 在复习时，要注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式.注意方程思想、整体思想、分类讨论思想、数形结合思想的运用. 典型例题 例8．在数列{a_n}中，a₁=2,a_n+1=＞0，则a₂₀₀₈= ( ) A. B. C. D. 分析：考查等差数列的性质。 解析：由 a_n+1=- 为等差数列，且公差为1，首项为0，则 例9．某国采用养老储备金制度，公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a₁，以后每年交纳的数目均比上一年增加 d（d>0）, 因此，历年所交纳的储备金数目a₁, a₂, … 是一个公差为 d 的等差数列. 与此同时，国家给予优惠的计息政府，不仅采用固定利率，而且计算复利. 这就是说，如果固定年利率为r（r>0）,那么, 在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为 a₁（1+r）^n－1，第二年所交纳的储备金就变成 a₂（1+r）^n－2，……. 以T_n表示到第n年末所累计的储备金总额. （Ⅰ）写出T_n与T_n－1（n≥2）的递推关系式； （Ⅱ）求证T_n=A_n+ B_n，其中{A_n}是一个等比数列，{B_n}是一个等差数列. 分析：本小题主要考查等差数列、等比数列的基本概念和基本方法，考查学生阅读资料、提取信息、建立数字模型的能力，考查应用所学知识分析和解决实际问题的能力. 解：（I）我们有 （II）反复使用上述关系式，得 ① 在①式两端同乘1+r，得 ② ②－①，得 2．解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用． 考点5 等差、等比数列前n项和的理解与应用 等差、等比数列的前n项和公式要深刻理解，等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数.等比数列的前n项和公式（），因此可以改写为是关于n的指数函数，当时，. 例10．已知数列的前n项和S_n=n²－9n,第k项满足5<a_k<8,则k= A．9 B．8 C．7 D．6 分析：本小题主要考查数列通项和等差数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力． 解：此数列为等差数列，，由5<2k-10<8得到k=8． 例11．已知数列{a_n}和{b_n}满足:且{b_n}是以q为公比的等比数列. （Ⅰ）证明：； （Ⅱ）若证明数列是等比数列； （Ⅲ）求和：. 分析：本小题主要考查等比数列的定义，通项公式和求和公式等基本知识及基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力． 解法1：（I）证：由，有， ． （II）证：， ，， ． 是首项为5，以为公比的等比数列． （III）由（II）得，，于是 ． 当时，． 当时，． 故 解法2：（I）同解法1（I）． （II）证：
，又， 是首项为5，以为公比的等比数列． （III）由（II）的类似方法得， ， ，． ．下同解法1． 考点6 数列与函数，解析几何的综合问题 由函数迭代的数列问题是进几年高考综合解答题的热点题目，此类问题将函数与数列知识综合起来，考察函数的性质以及函数问题的研究方法在数列中的应用，涉及的知识点由函数性质、不等式、数列、导数、解析几何的曲线等，另外函数迭代又有极为深刻的理论背景和实际背景，它与当前国际数学主流之一的动力系统（拓扑动力系统、微分动力系统）密切相关，数学家们极为推崇，函数迭代一直出现在各类是数学竞赛试题中，近几年又频频出现在高考数学试题中. 例12．函数是定义在R上的偶函数，且，当时，R)，记函数的图象在处的切线为l，．
(1)求在[0，1]上的解析式；
(2)求切线l的方程；
(3)点列B₁(b₁，2)，B₂(b₂，3)，…，B_n(b_n，n + 1)在l上，A₁(x₁，0)，A₂(x₂，0)，…，A_n(x_n，0)依次为x轴上的点，如图，当N*，点A_n、B_n、A_{n + 1}构成以为底边的等腰三角形，若，且数列是等差数列，求a的值和数列的通项公式． (1) 解：，

是周期为2的周期函数. (2) 当0≤x≤1时，－2≤－2 + x≤－1，
，
整理得. ，由于.
． (2)解：由题意切点为即，l的斜率为，
由直线点斜式方程知l的方程为 (3)解：点在直线上，.
又为等腰三角形，
，即
由此有：.两式相减得：.
数列的所有奇数项、所有偶数项分别构成以2为公差的等差数列 又.
，
.
. 当且仅当，即时，为等差数列.
此时数列的通项公式为 例13设，不等式组所表示的平面区域为，把内的整点（横、纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排列成点列： （1） 求； （2） 设数列满足 求证：时，； （3） 在（2）的条件下，比较与4的大小。 解:（1）由及得，因为，所以 又与的交点为，所以内的整点，按由近到远排列为： （1，1），（1，2），， （2）证明：时， 所以， 两式相减得： （3）时，，时， 可猜想：时， 事实上时，由（2）知 所以 - 考点7 数列综合应用与创新问题 数列与其它数学知识的综合性问题是高考的热点，全面考察数学知识的掌握和运用的情况，以及分析问题解决问题的能力和思维的灵活性、深刻性、技巧性等，涉及的数学思想方法又从一般到特殊和从特殊到一般的思想、函数与方程的思想、探索性思想等。 例14．在m（m≥2）个不同数的排列P₁P₂…P_n中，若1≤i＜j≤m时P_i＞P_j（即前面某数大于后面某数），则称P_i与P_j构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列的逆序数为a_n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数.求a₄、a₅，并写出a_n的表达式； 分析：考查排列、数列知识. 过程导引：由已知得，. 例15．设是定义在上的单调可导函数.已知对于任意正数，都有，且. （Ⅰ）求，并求的值； （Ⅱ）令，证明数列是等差数列； （Ⅲ）设是曲线在点处的切线的斜率（），数列的前项和为，求证：. 思路启迪：根据已知条件求出函数的关系式，求出的递推关系式然后可求解题中要求． 解：（Ⅰ）取； 再取， 则，或－1（舍去）. （Ⅱ）设，则，再令 ， 即或，又， 则， 由，所以是等差数列. （3）由（2）得则 所以； 又当时，， 则， 故. 例16．已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……） （1）求的值； （2）证明：对任意的正整数n，都有>a； （3）记（n=1,2,……），求数列{b_n}的前n项和S_n． 分析：（1）注意应用根与系数关系求的值；（2）注意先求；（3）注意利用的关系． 解：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根， ∴． （2）， =，∵，∴由基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……）． （3），而，即， ，同理，，又 ． 数列学习建议： 1．“巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 2．归纳——猜想——证明体现由具体到抽象，由特殊到一般，由有限到无限的辩证思想．学习这部分知识，对培养学生的逻辑思维能力，计算能力，熟悉归纳、演绎的论证方法，提高分析、综合、抽象、概括等思维能力，都有重大意义． 3．解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题． 4．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．
最终答案：略