作业帮一道量子力学题两个一维全同粒子,处于一维谐振子势中,彼此之间还有位能V=1/2k[X(1)^2+X(2)^2]+1/2A
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 00:25:42
一道量子力学题
两个一维全同粒子,处于一维谐振子势中,彼此之间还有位能
V=1/2k[X(1)^2+X(2)^2]+1/2A[X(1)-x(2)]^2
A k 都大于零
求体系的能量本征值和本证函数,按波函数的交换对称性分别讨论
两个一维全同粒子,处于一维谐振子势中,彼此之间还有位能
V=1/2k[X(1)^2+X(2)^2]+1/2A[X(1)-x(2)]^2
A k 都大于零
求体系的能量本征值和本证函数,按波函数的交换对称性分别讨论
先定义简正坐标
y=X(1)+X(2)
z=X(1)-X(2)
那么势能就可以写为：
V=(1/4)ky^2+(1/2)(k/2+A)z^2
这等价于一个各向异性的两维谐振子问题,其本征能量为
E=(p+1/2)*hbar*sqrt(k/2m)+(q+1/2)*hbar*sqrt[(k/2+A)/m]
p、q为正整数,m为粒子质量.
未对称化的波函数为
psi_p[(X1+X2)/a1]psi_q[(X1-X2)/a2]
a1=hbar^(1/2)(km/2)^(1/4)
a2=hbar^(1/2)[(k/2+A)m]^(1/4)
psi_p 是一维谐振子本征态p的波函数.
对称化的波函数为
psi_p[(X1+X2)/a1]{psi_q[(X1-X2)/a2]+psi_q[(X2-X1)/a2]}
很显然,q是奇数时波函数为0.所以对玻色子,q只能取偶数.
反对称化的波函数为
psi_p[(X1+X2)/a1]{psi_q[(X1-X2)/a2]-psi_q[(X2-X1)/a2]}
q是偶数时波函数为0.所以对费米子,q只能取奇数.
y=X(1)+X(2)
z=X(1)-X(2)
那么势能就可以写为：
V=(1/4)ky^2+(1/2)(k/2+A)z^2
这等价于一个各向异性的两维谐振子问题,其本征能量为
E=(p+1/2)*hbar*sqrt(k/2m)+(q+1/2)*hbar*sqrt[(k/2+A)/m]
p、q为正整数,m为粒子质量.
未对称化的波函数为
psi_p[(X1+X2)/a1]psi_q[(X1-X2)/a2]
a1=hbar^(1/2)(km/2)^(1/4)
a2=hbar^(1/2)[(k/2+A)m]^(1/4)
psi_p 是一维谐振子本征态p的波函数.
对称化的波函数为
psi_p[(X1+X2)/a1]{psi_q[(X1-X2)/a2]+psi_q[(X2-X1)/a2]}
很显然,q是奇数时波函数为0.所以对玻色子,q只能取偶数.
反对称化的波函数为
psi_p[(X1+X2)/a1]{psi_q[(X1-X2)/a2]-psi_q[(X2-X1)/a2]}
q是偶数时波函数为0.所以对费米子,q只能取奇数.
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