简单对数复变函数积分(下限0，上限+无穷大) ln(x)/(1+x^4) dx 原式=复平面上上半个无限大区间上的积分/

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 17:32:10

简单对数复变函数
积分(下限0，上限+无穷大) ln(x)/(1+x^4) dx
原式=复平面上上半个无限大区间上的积分/2
分母=(1+x^4)=(1+x)(1-x)(i+x)(i-x)
奇点为x=1,-1,i,-i,属于上半区间的是1和i
所以原式=2(pi)i*[Res(1)+Res(i)]
Res(1)=ln(1)/[(1+1^2)(1+1)]=0
Res(i)=ln(i)/[(1-i^2)(i+i)]=ln(i)/(4i)
所以原式=(1/2)2(pi)i*ln(i)/(4i)=(pi)ln(i)/4
可是ln(i)=(pi)i/2
所以原式=(pi)^2*i/8
结果是个复数……不过这是个实积分，请问错在哪里……

首先大致看一下这个积分是不是收敛.
两个可能的奇点：0和无穷远.
0的地方,差不多是lnx,而lnx的原函数是xlnx-x,它在0点有极限,是0,因此原来这个积分在0这里是收敛的.
无穷远的地方,分母是4次的,分子比x的任何正次幂要小,所以也是收敛的.
然后算这个积分.我用实函数的办法没算出来.用留数的办法大概可以算.考虑这样的区域：A(R,r)={z在复平面的第一象限,而且

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