作业帮求高数证明题解答设f(x)=arctanx1> 证明存在唯一的E（数学符号叫可赛） E属于（0,x） 使得f(x)=xf
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 03:42:58
求高数证明题解答
设f(x)=arctanx
1> 证明存在唯一的E（数学符号叫可赛） E属于（0,x） 使得f(x)=xf'(E)
2> 求 Lim x->0+时 E/x
在[0,x]上使用拉格朗日中指定理只能证明E的存在 不能证明唯一性啊~
设f(x)=arctanx
1> 证明存在唯一的E（数学符号叫可赛） E属于（0,x） 使得f(x)=xf'(E)
2> 求 Lim x->0+时 E/x
在[0,x]上使用拉格朗日中指定理只能证明E的存在 不能证明唯一性啊~
1>由拉格朗日定理知存在E使f(x)=xf'(E)
即arctanx/x=1/(E^2+1)
设存在E1,E2满足条件
则1/(E1^2+1)=1/(E2^2+1)
E1^2=E2^2 又E1,E2>0
∴E1=E2 知E的唯一性
2>E^2=(x-arctanx)/arctanx
(E/x)^2=(x-arctanx)/x^2*arctanx
设t=arctanx x=tant
则(E/x)^2=(tant-t)/t*(tant)^2
∴lim(x->0+)(E/x)^2
=lim(t->0+)(tant-t)/t*(tant)^2
=lim(t->0+)(sint-tcost)*cost/t*(sint)^2
=lim(t->0+)[t-t^3/6+o(t^3)-t(1-t^2/2+o(t^2))]/t[t^2+o(t^2)](泰勒公式)
=1/3
∴lim(x->0+)(E/x)=1/3^(1/2)
即arctanx/x=1/(E^2+1)
设存在E1,E2满足条件
则1/(E1^2+1)=1/(E2^2+1)
E1^2=E2^2 又E1,E2>0
∴E1=E2 知E的唯一性
2>E^2=(x-arctanx)/arctanx
(E/x)^2=(x-arctanx)/x^2*arctanx
设t=arctanx x=tant
则(E/x)^2=(tant-t)/t*(tant)^2
∴lim(x->0+)(E/x)^2
=lim(t->0+)(tant-t)/t*(tant)^2
=lim(t->0+)(sint-tcost)*cost/t*(sint)^2
=lim(t->0+)[t-t^3/6+o(t^3)-t(1-t^2/2+o(t^2))]/t[t^2+o(t^2)](泰勒公式)
=1/3
∴lim(x->0+)(E/x)=1/3^(1/2)
求高数证明题解答设f(x)=arctanx1> 证明存在唯一的E（数学符号叫可赛） E属于（0,x） 使得f(x)=xf
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