设函数f(x)在[a,b]上三阶可导,证明：存在一点e∈(a,b),使得

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 11:38:18

设函数f(x)在[a,b]上三阶可导,证明：存在一点e∈(a,b),使得
f(b) = f(a) + 1/2 (b-a) [f'(a) + f'(b)] - 1/12 (b - a)^3 * f'''(e)

大部分就基于上楼的想法了,
f``(b)-f``(a)=(b-a)f```(e3)
f''(a)/2!((b-a)/2)² - f''(b)/2!((a-b)/2)²=-((b-a)/2)³f'''(e3)
f'''(e1)/3!((b-a)/2)³+f'''(e2)/3!((b-a)/2)³-((b-a)/2)³f'''(e3)=- f'''(e) ((b-a)/2)³/3
=(1/6+1/6-1)((b-a)/2)³ * f'''(e)=-1/12 (b - a)^3 * f'''(e)
再问：能否详细讲讲f'''(e1)/3! ((b-a)/2)³+f'''(e2)/3! ((b-a)/2)³-((b-a)/2)³f'''(e3)=(1/6+1/6-1)((b-a)/2)³ * f'''(e)这一步，应该是根据导函数的介值定理吧，但是f'''(e3)前的系数是-1，所以我不知道怎么用了，因为无法证明e一定介于e1,e2,e3中间。请详解呀！谢谢！
再答：比如说3a+2b=5c的话，c就一定位于a和b之间，所以上式就是提取1/3！ 1/3！ -1 那么1/6a+1/6b-c=-2/3d，那么d肯定在abc这几个数之间，
再问： 3a+2b=5c是因为3和2都是正数，但比如说a-2b=-c，令a=1，b=2，那么c=3，不在ab之间
再答：大哥，你算错了。。。 1-2=-1 先去晚自习了，还有问题回来再说哈
再问： b=2呀，1-2*2=-3呀。。
再答：系数要一致这个才成立，3a+2b=5c,3+2=5,这个式子的意思就是平均数肯定比这几个数的最大值小，比最小值大
再问： a-2b=-c，(1)a+(-2)b=(-1)*c，系数是1-2=-1，大哥，系数是一致的。。。你的结论对正系数成立，负系数就不成立。平均数大于min小于max是因为平均数的每项系数都是正的。
再答： -1不在1和-2之间吗
再问：拜托，1,-2,-1是系数，a,b,c分别等于1,2,3，3不在1,2之间
再答：好吧，是我搞错了，那么关于这一个细节如何填补我在看一下。因为最终的结果和答案也就差这一点了吧 hold 不住了，代入加法算的话也只能得到1/6而不是1/12，回头有讲评的话跟我说一声
再问：其实这道题是学泰勒展开之前的作业，书上的提示是构造辅助函数然后用微分中值定理（我还不会做）。现在我觉得用泰勒展开似乎做不出来。。
再答：有三阶导的话我觉得是要泰勒展开吧，可是二阶导又没掉了所以只能是中值定理，问题是三阶导那边还有个系数1/12,那过后我也再想想看吧。还有就是我上面的步骤只有那一步是不严谨的，或者说错的，其他都么问题吧，那么逻辑上来说不能得到正确答案啊

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