关于x.y 的方程x的平方与y的平方的和=208（x-y)的所有正整数解是

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/26 12:45:49

首先x>y
假设x为奇数,x=2k+1,则x^2为奇数,而208（x-y）为偶数,所以y为奇数,记y=2j+1
有2×(2k^2+2k+2j^2+2j+1)=208×2(k-j)
（2k^2+2k+2j^2+2j+1)为奇数,208×2(k-j)/2为偶数,矛盾
所以x、y都是偶数
假设x=2^n×mA,y=2^n×mB,(A、B互质,A>B,m为奇数）
有2^2n×m^2×(A^2+B^2)=208×2^n×m(A-B)=2^(n+4)×13m(A-B)
假设A-B=C×2^P,(P>=0,C为奇数）易知B、C互质
有2^2n×m^2×(2B^2+2BC×2^P+C^2×2^2P)=2^(n+4)×13mC×2^P
P=0时
m^2×(2B^2+2BC+C^2)和13mC为奇数,所以
2^2n=2^(n+4),n=4
此时
m×(2B^2+2BC+C^2)=13C
由于13为质数,所以m为13或1
m=13时
C=2B^2+2BC+C^2>=C^2,1>=C矛盾
所以m=1
0=2B^2+2BC+C^2-13C
B=(-C±(26C-C^2）^(1/2))/2
由于B为整数,所以(26C-C^2）^(1/2)为完全平方数
记D^2=26C-C^2
当C有大于2的质因数Q时,D整除Q,则B也整除Q,B、C不互质,矛盾,所以C为1,B=2或B=-3,由于B>0,所以B=2带回x、y得到
x=48,y=32
P≠0时
2^（2n+1）×m^2×(B^2+BC×2^P+C^2×2^（2P-1）)=2^(n+4+P)×13mC
B为奇数时,同样有
n=3+P
B^2+BC×2^P+C^2×2^（2P-1）=13C
同样判断出C=1
即
B^2+B×2^P+2^（2P-1）=13,
有13>2^(2P-1),3>P
将P=1、2分别带入知仅当P=2时,B为整数,B=-5或B=1,由于B>0,所以排除B=-5,将B=1带回x、y知
x=160,y=32
P≠0,B为偶数时,则A可以整除2,与假设的A、B互质矛盾,所以B不是偶数
综上有
x=48,y=32
x=160,y=32

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