100分求通项公式已知A2=1;A3=3;A4=11递推:An=(n-1)A(n-1)+(n-2)A(n-2)求{A

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 04:50:23

100分求通项公式
已知A2=1;A3=3;A4=11
递推:An=(n-1)*A(n-1)+(n-2)*A(n-2)
求{An}通项公式
没有错呀
中文描述就是,第n项=(n-1)乘以第n-1项+(n-2)乘以第n-2项
比如A4=3*A3+2*A2=11
佩服napcat!
其实,我正是在推广错置排列的问题上得到这个递推的,不过我算出来的方法数Bn=(n-1)*A(n-1),也就是说题中的An是一个辅助数列.(因为如果第n个人的帽子戴在i头上,而i的帽子没有戴在n的头上时,方法数应该不是A(n-1))
前面两种思路(特别是第二种)非常好,第三种中间的容斥定理则更是facinating,不知可否劳驾napcat高手稍微具体地说一下用容斥定律计算错置排列的过程.一定再追加100分.

答案：An=n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)
一会儿回来提供三种证明思路
思路一：数学归纳法.这个没什么可说.
思路二：注意到An/A(n-1)大致是n,令 An=n!bn,代入,得
bn-b(n-1)=-(b(n-1)-b(n-2))/n,b1=0,b2=1/2.
所以,bn-b(n-1)=-(b(n-1)-b(n-2))/n=-(-(b(n-2)-b(n-3))/(n-1))/n=...=(-1)^(n-2)(b2-b1)/(n*(n-1)*...*3)=(-1)^n*1/n!,
所以 bn=1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!,An=n!bn等于上式.
思路三：这个公式是错置排列的公式.所谓错置排列,有一个通俗的说法.n 个人,每人有一顶自己的帽子.An 是他们每个人都戴错帽子的戴法数目.显然 A1=0 （一个人不可能戴错),A2=1.对n>2的情况,第 n 个人的帽子必然戴到某个第 i 人头上,i=1,2,...,n-1,这有两种情况 1）第i个人的帽子戴到第n个人头上,则其余 n-2 个人要互相戴错,共有 A（n-2)种戴法；
2）另外一个人的帽子戴到第n个人头上,此时共有 A(n-1)种戴法.总之,我们有 An=(n-1)(A(n-1)+A(n-2)),n>2.而我们可以用容斥原理算出错置排列的数目如上,所以必然有An等于上面的数.

100分求通项公式已知A2=1;A3=3;A4=11递推:An=(n-1)*A(n-1)+(n-2)*A(n-2)求{A 已知a1=1,an+1=an+2n 求an 由递推公式知：a2-a1=2,a3-a2=22,a4-a3=23,…an-a 在数列{a n}中,a1=1,a n+1=2a n/2+a n.求a2?a3?a4?第二问求an 数列不等式已知an=2^n-1 前一个n为下标求证：a1/a2+a2/a3+a3/a4+.+an/a(n+1) 最后一个求数列通项公式!a[n]=（n-1）（n-1）a[n-2]+（n-1）（n-2）a[n-3]a1=0a2=1a3=2a4 已知数列｛an｝满足：a1=1,且an-a（n-1）=2n.求a2,a3,a4.求数列｛an｝通项an 已知数列满足a(n+1)=1/(2-an),a1=a,(1)求a1,a2,a3,a4;(2)猜想数列{an}的通项公式, 已知数列{an}满足a1+a2+a3+...+an=n^2+2n.(1)求a1,a2,a3,a4 已知数列{an}满足a1=1,a(n+1)=2an+1(n∈N*).证明1/a2+1/a3+1/a4+.+1/an+1 已知数列An满足A1=1,An=3^(n-1)+A(n-1)(n=>2).(1)求A2,A3;(2)证明An（3^n-1 数列的递推公式为an=3an-1+1(n≥2,n∈N*),且a1=1,试求a2,a3,a4的值,猜测数列{an} 已知递推公式求通项 a(1)=1 a(n)=3*a(n-1)+2^n (n>=2) 求a(n)