作业帮急求一道高中数学圆锥曲线经典证明题的解法
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 05:17:20
急求一道高中数学圆锥曲线经典证明题的解法
过抛物线准线上的一个点,向抛物线做两条切线,求证：两个切点与抛物线的焦点共线.
过抛物线准线上的一个点,向抛物线做两条切线,求证：两个切点与抛物线的焦点共线.
要先建系,抛物线顶点为原点,焦点在x轴或者y轴
倒是无所谓的,我证在y轴上的
设x^2=2py(p>0),则准线上任意一点P(x0,-p/2),设抛物线上有一点Q(x,x^2/2p)使PQ与其相切,则
f'(x)=x/p,所以(x^2/2p+ p/2)/x-x0=x/p,整理得x^2-2x0x-p^2=0设两切点分别Q1(x1,x1^2/2p)Q2(x2,x2^2/2p) x1x2=-p^2
PQ1向量=(x1,x1^2/2p -p/2)PQ2向量=(x2,x2^2/2p -p/2)据向量共线定理
x1(x2^2/2p -p)-x2(x1^2/2p -p)=x1x2(x2-x1)/2p +p(x2-x1)/2=(x2-x1)(x1x2/2p +p/2)=0
即PQ1向量PQ2向量共线所以三点共线
倒是无所谓的,我证在y轴上的
设x^2=2py(p>0),则准线上任意一点P(x0,-p/2),设抛物线上有一点Q(x,x^2/2p)使PQ与其相切,则
f'(x)=x/p,所以(x^2/2p+ p/2)/x-x0=x/p,整理得x^2-2x0x-p^2=0设两切点分别Q1(x1,x1^2/2p)Q2(x2,x2^2/2p) x1x2=-p^2
PQ1向量=(x1,x1^2/2p -p/2)PQ2向量=(x2,x2^2/2p -p/2)据向量共线定理
x1(x2^2/2p -p)-x2(x1^2/2p -p)=x1x2(x2-x1)/2p +p(x2-x1)/2=(x2-x1)(x1x2/2p +p/2)=0
即PQ1向量PQ2向量共线所以三点共线