1.（2006•锦州）如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,点C的坐标为（4,0）,∠AOC=60

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 17:27:15

1.（2006•锦州）如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为菱形,点C的坐标为（4,0）,∠AOC=60°,垂直于x轴的直线l从y轴出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N（点M在点N的上方）．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设△OMN的面积为S,直线l运动时间为t秒（0≤t≤6）,试求S与t的函数表达式；
（3）在题（2）的条件下,t为何值时,S的面积最大?最大面积是多少?

没有图,假定菱形在第一象限.
(1) OC = 4, 菱形各边长均为4,OA=4
A的横坐标为4*cos60° = 4*1/2 = 2
A的纵坐标为4*sin60° = 4*√3/2 = 2√3
A(2, 2√3)
B的横坐标为A的横坐标+4 = 2+4 = 6
B的纵坐标为A的纵坐标相同（AB平行于OC）
B(6,  2√3)
(2)
(a) 0≤t≤2时,M在OA上
OA的斜率为tg60° = √3, OA的方程为y = √3x
ON = t
M,N的横坐标均为t, M的纵坐标为√3t
M(t, √3t)
N(t, 0)
S = (1/2)*ON*M的纵坐标 = (1/2)t*√3t = √3t²/2  (0≤t≤2)
(b) 2<t≤4
N(t, 0)
M(t, 2√3)
S = (1/2)*ON*M的纵坐标 = (1/2)*t*2√3 = √3t  (2<t≤4)
(c) 4<t≤6
CB平行于OA,斜率也是√3
CB的方程为：y = √3(x-4)
代入t,N的纵坐标为√3(t-4)
N(t, √3(t-4))
M(t, 2√3)
S = (1/2)*MN*N的横坐标 = (1/2)*[2√3 - √3(t-4)]*t = √3t(6-t)/2   (4<t≤6)
(3)
(a)情形下,S为增函数,最大值为：t=2, S = 2√3
(b)情形下,S为增函数,最大值为: t=4, S = 4√3
(c)情形下,S为减函数,最大值小于(b)情形下的最大值
三者中,t=4时,S最大, 为4√3