对任意数N,求证N五次方-5N³+4N能被120整除?荈
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/28 09:49:02
对任意数N,求证N五次方-5N³+4N能被120整除?荈
首先题目肯定是任意自然数或整数N
我以较为复杂的整数条件来计算.
N五次方-5N³+4N
=N(N^4-5N^2+4)
=N(N^2-4)(N^2-1)
=N(N+2)(N-2)(N+1)(N-1)
观察!发现这是5个连续整数的积
a.当N为-2,-1,0,1,2这几个值时,原式为0,可以被120整除
b.当N大于2时,
即欲证n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)能被120整除(n为正整数)
证明:
1、当n=1时1*2*3*4*5=120,能被120整除,原命题成立
2、假设当n=k时原命题成立,则当n=k+1时
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)
=k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
+5(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
因为k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)是120的倍数
只需证5(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)是120的倍数
即欲证(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)是24的倍数
四个数中两奇两偶,一定有4的倍数,3的倍数,还有另一个偶数,所以一定能被4*2*3=24整除 .
即当n=k+1时原命题成立
所以,综合1、2、,原命题对任何正整数成立.
c.当N小于-2时,证法同上,多个负号而已.
结合a,b,c,原命题成立.
我以较为复杂的整数条件来计算.
N五次方-5N³+4N
=N(N^4-5N^2+4)
=N(N^2-4)(N^2-1)
=N(N+2)(N-2)(N+1)(N-1)
观察!发现这是5个连续整数的积
a.当N为-2,-1,0,1,2这几个值时,原式为0,可以被120整除
b.当N大于2时,
即欲证n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)能被120整除(n为正整数)
证明:
1、当n=1时1*2*3*4*5=120,能被120整除,原命题成立
2、假设当n=k时原命题成立,则当n=k+1时
(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)
=k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
+5(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)
因为k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)是120的倍数
只需证5(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)是120的倍数
即欲证(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)是24的倍数
四个数中两奇两偶,一定有4的倍数,3的倍数,还有另一个偶数,所以一定能被4*2*3=24整除 .
即当n=k+1时原命题成立
所以,综合1、2、,原命题对任何正整数成立.
c.当N小于-2时,证法同上,多个负号而已.
结合a,b,c,原命题成立.
对任意数N,求证N五次方-5N³+4N能被120整除?荈
求证对任意自然数n,3 ^4n+2 +5 ^2n+1能被14整除
求证:对于任意自然数n,(n+5)-(n+2)(n+3)一定能被6整除
试证明当n为自然数时,代数式n的五次方-5n的3次方+4n能被120整除
用数学归纳法证明n³+5n能被6整除(n∈N*)
求证:对任意正整数n,(2n+1)²-1一定能被8整除
求证:对任何正整数n,3^(4n+2)+5^(2n+1)能被14整除
说明对于任意自然数n,2^n+4-2n能被5整除
求证:n是任意自然数,n的平方+n+2都不能被5整除.
(用归纳法证明)对任意自然数n,n^3+11n能被6整除
对任意的质数p,求证:存在无穷多个正整数n使得p能整除(2^n-n)
对任意的质数p,求证:存在无穷多个正整数n使得p能整除(2^n-n)