如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 06:50:37

如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）在平面PAD内求一点G,使GF⊥平面PCB,并证明你的结论；
（Ⅲ）求DB与平面DEF所成角的大小．

十几年了,最近突然开始回顾学生时代,只有这立体几何还记得,
（1）求证：EF⊥CD；
∵ABCD为矩形
∴CD⊥AD
又∵PD⊥平面ABCD
∴PD⊥CD
∴CD⊥平面PAD,CD⊥PA
∵E、F均为中点
∴EF∥PA
∴EF⊥CD
（2）设G为AD的中点,连接GF,则GF⊥平面PCB
证明：
∵PD=DC,ABCD为正方形
设正方形边长为a
∴PA=√2a
设H为BC中点,连接GH,FH；设O为GH中点,连接FO,EO
∵AB⊥BC,E,O,G,H为中点
∴EO∥BC,GH∥AB
∴EO⊥GH
又∵PD⊥BC,BC⊥CD
∴BC⊥平面PCD,有BC⊥PC
∵FH∥PC,BC⊥AB,GH∥AB
∴BC⊥平面FGH,BC⊥GF①
∵FO∥PD
∴FO⊥GH,FO=EO=a/2
∴△FGH为等腰三角形
∴GF=FH=PC/2=√2a/2
∵GH=a
∴△FGH为等腰RT△
∴FG⊥FH②
∴FG⊥平面PCB
（3）因为作辅助线很困难,不清楚该如何才能作出DB与平面DEF所成角,因此使用"等体积法".
设B到平面DEF的距离为h,BD与平面DEF所成角为α,则sinα=h/BD,BD=√2a
三棱锥F-BED就是三棱锥B-DEF,设体积为V
∵FO∥PD
∴FO为三棱锥F-BED的高,FO=PD/2=a/2
∵ABCD为正方形,E为AB的中点
∴S△BED=S正方形/4=a²/4
∴3V=S△BED×FO=a³/8
∵EF=PA/2=√2a/2,DE=√5a/2,DF=√3a/2
∴EF²+DF²=DE²,即△DEF为RT△
∴S△DEF=EF×FD/2=√6a²/8
∴3V=S△DEF×h=a³/8,解得h=√6a/6
∴sinα=h/BD=√3/6
∴α=arcsin(√3/6) (≈16.78°)
此外,根据此题容易建立坐标系的特点,可用向量法求解,以D为原点,DA为x,DC为y,DP为z建立坐标系.