（2014•烟台二模）已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/27 13:30:36

（2014•烟台二模）已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x²，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

（I）a=0时，曲线y=f（x）=x²-lnx，
∴f′（x）=2x-
1
x，∴g′（1）=1，又f（1）=1
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x-y=0．
（II） f′(x)＝2x+a−
1
x＝
2x2+ax−1
x≤0在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x²+ax-1，有

h(1)≤0
h(2)≤0得

a≤−1
a≤−
7
2，
得 a≤−
7
2
（II）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′(x)＝a−
1
x=
ax−1
x
①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a＝
4
e（舍去），
②当 0＜
1
a＜e时，g（x）在 (0，
1
a)上单调递减，在 (
1
a，e]上单调递增
∴g(x)min＝g(
1
a)＝1+lna＝3，a=e²，满足条件．
③当
1
a≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，

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