（2014•市中区二模）已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/27 14:27:45

（2014•市中区二模）已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）-x²，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（3）当x∈（0，e]时，证明：e

（1）f′(x)＝2x+a−
1
x＝
2x2+ax−1
x≤0在[1，2]上恒成立，
令h（x）=2x²+ax-1，有

h(1)≤0
h(2)≤0得

a≤−1
a≤−
7
2，
得a≤−
7
2
（2）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′(x)＝a−
1
x=
ax−1
x
①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a＝
4
e（舍去），
②当0＜
1
a＜e时，g（x）在(0，
1
a)上单调递减，在(
1
a，e]上单调递增
∴g(x)min＝g(
1
a)＝1+lna＝3，a=e²，满足条件．
③当
1
a≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a＝
4
e（舍去），
综上，存在实数a=e²，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．
（3）令F（x）=e²x-lnx，由（2）知，F（x）_min=3．
令

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