已知定点F（0，1）和直线l：y=-1，过点F且与直线l相切的动圆圆心为点M，记点M的轨迹为曲线E．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/28 23:19:26

已知定点F（0，1）和直线l：y=-1，过点F且与直线l相切的动圆圆心为点M，记点M的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若点A的坐标为（2，1），直线l₁：y=kx+1（k∈R，且k≠0）与曲线E相交于B，C两点，直线AB，AC分别交直线l于点S，T．试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．

（1）由题意，点M到点F的距离等于它到直线l的距离，
故点M的轨迹是以点F为焦点，l为准线的抛物线．…（1分）
∴曲线E的方程为x²=4y．…（2分）
（2）设点B，C的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），依题意得，x₁²=y₁，x₂²=y₂．
y=kx+1代入x²=4y，消去y得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4．…（3分）
直线AB的斜率k_AB=
y1−1
x1−2=
x1+2
4，
故直线AB的方程为y-1=
x1+2
4（x-2）．…（4分）
令y=-1，得x=2-
8
x1+2，
∴点S的坐标为（2-
8
x1+2，-1）．…（5分）
同理可得点T的坐标为（2-
8
x2+2，-1）．…（6分）
∴|ST|²=|2-
8
x1+2-（2-
8
x2+2）|²=|
x1−x2
k|²=
16(k2+1)
k2．…（8分）
设线段ST的中点坐标为（x₀，-1），
则x₀=
1
2（2-
8
x1+2+2-
8
x2+2）=2-
4(4k+4)
8k=-
2
k．…（9分）
∴以线段ST为直径的圆的方程为(x+
2
k)2+(y+1)2＝
4(k2+1)
k2．…（10分）
令x=0，得（y+1）²=4，解得y=1或y=-3．…（13分）
∴以线段ST为直径的圆恒过两个定点（0，1），（0，-3）．…（14分）

已知定点F（0，1）和直线l：y=-1，过点F且与直线l相切的动圆圆心为点M，记点M的轨迹为曲线E．已知动圆与直线x=-1相切,且过定点F(1,0),动圆圆心为M求点M的轨迹c的方程已知定点F（1，0）和定直线l：x=-1，动圆P过定点F且与定直线l相切，动圆圆心P的轨迹为曲线C．已知定点F（2，0）和定直线l：x=-2，动圆P过定点F与定直线l相切，记动圆圆心P的轨迹为曲线C．已知定点F（0,1）和直线L1：y=-1,过定点F与直线L1相切的动圆圆心为点C 已知动圆M过定点F（2,0）,且与直线X=-2相切,动圆圆心M的轨迹为曲线C,若过（2,0）且斜率为1的直线与... 已知动圆M过定点F(1,0),切与直线L x=-1相切,动圆圆心M 的轨迹为曲线C.求曲线C的方程已知定点A（4,4）和P（1,0）,定直线 l ：x＝－1.动圆过P点且与直线l 相切.⑴ 求动圆圆心的轨迹M的方程；⑵ 已知动圆过定点(1,0)且与定直线l:x=-1相切，点C在l上（1）求动圆圆心点轨迹M的方程已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l：x=-1相切,点C在1上.（一）求动圆圆心M的轨迹方程 (二)设过点P,且斜率在坐标系中,O为坐标原点,已知动圆与直线x=-1相切,且过定点F(1.0 ),动圆圆心为M,求点M的轨迹C的方程已知动圆过定点P(1,0),且与定直线l:x=-1相切,点C在l上,该动圆圆心轨迹M的方程为y^2=4x设过点P,且斜率