作业帮高中数学直线与圆锥曲线的综合问题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 15:06:56
高中数学直线与圆锥曲线的综合问题
已知抛物线方程x2=4y,过点（t,-4）作抛物线的两条切线PA、PB,切点分别为A、B．
（I）求证直线AB过定点（0,4）；
（II）求△OAB（O为坐标原点）面积的最小值．
（Ⅰ）设切点为A（x1,y1）,B（x2,y2）,又y'= 二分之一x,
则切线PA的方程为：y-y1= 12x1（x-x1）,即y= 12x1x-y1,
切线PB的方程为：y-y2= 12x2（x-x2）即y= 12x2x-y2,
由（t,-4）是PA、PB交点可知：-4= 12x1t-y1,-4= 12x2t-y2,
∴过A、B的直线方程为-4= 12tx-y,
即tx-y+4=0,所以直线AB：12tx-y+4=0过定点（0,4）．
（Ⅱ）由 {12tx-y+4=0x2=4y.,得x2-2tx-16=0．
则x1+x2=2t,x1x2=-16,
因为S△OAB= 12×4×|x1-x2|=2 (x1+x2)2-4x1x2=2 4t2+64≥16,当且仅当t=0时,S最小=16．
另外想问一下开始一步又y'= 二分之一x,这一步是怎样得来的?这一步不懂?
已知抛物线方程x2=4y,过点（t,-4）作抛物线的两条切线PA、PB,切点分别为A、B．
（I）求证直线AB过定点（0,4）；
（II）求△OAB（O为坐标原点）面积的最小值．
（Ⅰ）设切点为A（x1,y1）,B（x2,y2）,又y'= 二分之一x,
则切线PA的方程为：y-y1= 12x1（x-x1）,即y= 12x1x-y1,
切线PB的方程为：y-y2= 12x2（x-x2）即y= 12x2x-y2,
由（t,-4）是PA、PB交点可知：-4= 12x1t-y1,-4= 12x2t-y2,
∴过A、B的直线方程为-4= 12tx-y,
即tx-y+4=0,所以直线AB：12tx-y+4=0过定点（0,4）．
（Ⅱ）由 {12tx-y+4=0x2=4y.,得x2-2tx-16=0．
则x1+x2=2t,x1x2=-16,
因为S△OAB= 12×4×|x1-x2|=2 (x1+x2)2-4x1x2=2 4t2+64≥16,当且仅当t=0时,S最小=16．
另外想问一下开始一步又y'= 二分之一x,这一步是怎样得来的?这一步不懂?
则切线PA的方程为：y-y1= 12x1（x-x1）,即y= 12x1x-y1?
不对吧,是y=1/2x1x-y1吧
切线PB的方程为：y-y2= 12x2（x-x2）即y= 12x2x-y2这里也是~12是不对的
如果都换成是1/2就对了
又y'= 1/2x是抛物线的导函数,又求导公式可得【你不是高三吧,高三学到】
导函数就是原函数的切线的斜率
不对吧,是y=1/2x1x-y1吧
切线PB的方程为：y-y2= 12x2（x-x2）即y= 12x2x-y2这里也是~12是不对的
如果都换成是1/2就对了
又y'= 1/2x是抛物线的导函数,又求导公式可得【你不是高三吧,高三学到】
导函数就是原函数的切线的斜率