A是半正定矩阵,有f(x)=X'AX,f(y)=Y'AY,证明:(X'AY)(X'AY)

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 01:06:17

A是半正定矩阵,有f(x)=X'AX,f(y)=Y'AY,证明:(X'AY)(X'AY)<=(X'AX)(Y'AY)

如果A是正定的, = X'AY是一个内积,这个不等式就是Cauchy不等式.
我们不妨用同样的办法去证明.
对任意向量X,Y与实数t,考虑g(t) = (tX+Y)'A(tX+Y) = f(X)t²+2(X'AY)t+f(Y).(A对称故X'AY = Y'AX).
由A半正定,有g(t) ≥ 0对任意实数t成立,作为关于t的二次函数,有判别式 ≤ 0.
即4(X'AY)² ≤ 4f(X)f(Y),于是(X'AY)² ≤ f(X)f(Y).
另外其实还有合同变换的方法,A半正定,双线性函数X'AY在某可逆变数替换下变为标准型
x_1*y_1+...+x_r*y_r,其中r是A的秩.
(x_1*y_1+...+x_r*y_r)² ≤ ((x_1)²+...+(x_r)²)((y_1)²+...+(y_r)²)就是原本的Cauchy不等式了.

A是半正定矩阵,有f(x)=X'AX,f(y)=Y'AY,证明:(X'AY)(X'AY) 设Z=f(x,x/y),f有二阶连续偏导数,求az/ax,az/ay,az/axay 设Z=f(y/x,y),f有二阶连续偏导数,求az/ax,az/ay,az/axay, 一道行列式的证明题|by+az bz+ax bx+ay| |x y z||bx+ay by+az bz+ax| =(a^ 证明|by+az bz+ax bx+ay| |x y z| 高数偏微分题求解f(xy,x/y)=x ,求[af(x,y)/ax]+[af(x,y)/ay]=?你这根本不对设A为m乘以n矩阵,证明：若AX=AY,且R（A）=n,则X=Y 请问已知ax=ay（a≠0）,下列变形错误的是 A.x=y B.ax+b=ay+b C.ax-ay+0 D.abx=ab 设函数z=f(x,y)存在一阶连续偏导数az/ax,az/ay,则dz= 若由z=f(x,y)得到y=(x,z) 那么偏导数(az/ay)(ay/az)=1成立吗 f(x)=x²-ax,x>y>0,且xy=2,若f(x)+f(y)+2ay≥0恒成立,求a的取值范围已知直线l1:x+ay=2a+2和l2:ax+y=a+1