A为实对称阵,设li为其第i个特征向量,代数重数为a,求证对应特征向量几何重数也为a.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 04:26:31

A为实对称阵,设li为其第i个特征向量,代数重数为a,求证对应特征向量几何重数也为a.
明显对于实对称阵,不同特征值对应的特征向量正交.但是对于相同特征值呢?根据实对称阵必然可以对角化的结论,相同特征值的特征向量必定是线性无关的（或是说几何重数=代数重数）,这样特征向量才可以进行正交化.但是怎么证明呢?

一般来讲直接证明谱分解定理——实对称矩阵可以正交对角化,然后你说的这些结论都是简单推论
谱分解用归纳法很容易证,假定c是A的一个特征值,x是对应的单位特征向量,先验证c是实数,x取成实向量,然后取一个以x为第一列的正交阵U=[x,*],那么U^TAU=diag{c,A22},再对A22用归纳假设即可
再问：首先非常感谢您的回答，您给出的谱定量的证明我没有见过。我是以A的特征向量线性无关，则特征向量矩阵S可逆，所以A=S*diag(c)*inv(S)，理解一个矩阵可以对角化的。当然，我也认可矩阵可以对角化则特征向量线性无关的结论。确实可以通过证明谱定理来解答我的问题。但是您给出的归纳法不是很完整，我也没有看出哪里使用了矩阵对称的条件，不知您能否给出完整的证明链接，不胜感激。
再答：如果x是A的一个特征向量(关于特征值c)，P=[x,*]是一个可逆矩阵，那么 P^{-1}AP= c * 0 * 上面的上三角化过程对非对称矩阵也完全适用在谱分解的证明里由于可逆变换取成了正交相似变换，这同时也是一个合同变换，U^TAU仍然是实对称矩阵，所以左下块为0就意味着右上块也为0，而右下块也必须是对称的，这样就能归纳了