困难的数学归纳法证明sn=1- 1/(x_(n+1)-1)

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 05:26:56

困难的数学归纳法证明sn=1- 1/(x_(n+1)-1)
如图:

证：由已知：Sn=1/x1+1/x2+1/x3+…+1/xn……① ；x(n+1)=xn²－xn+1……② ；x1=2
要证：Sn=1－1/[x(n+1)－1]……③
（1）当n=1时,由①得 S1=1/x1=½ ；由②得 x2=x1²－x1+1=2²－2+1=3
由③得 S1=1－1/(x2－1)=1－1/(3－1)=1/2
∴公式成立
（2）假设当n=k时公式成立,即Sk=1－1/[x(k+1)－1]
由②知 x(k+2)=x（k+1）²－x（k+1）+1 即 x（k+1）²－x（k+1）=x(k+2)－1……④
∴S(k+1)=Sk+1/x（k+1) =1－1/[x(k+1)－1]+1/x(k+1) = 1－{1/[x(k+1)－1]－1/x(k+1)}
=1－1/[x(k+1)²－x(k+1)]
将④代入得 S(k+1)=1－1/[x(k+2)－1]
∴当n=k+1时,公式也成立
综合（1）、（2）两步可知对任意正整数n,公式都成立再答： ��֪��е�n=1��2��3�� ʽSn=1/x1+1/x2+1/x3+��+1/xn �� ˵��ʽ�е�n��ȡ��k+1Ҳ�� S��k+1)=1/x1+1/x2+1/x3+��+1/xk+1/x(k+1) �֡�Sk=1/x1+1/x2+1/x3+��+1/xk ,��ʽ��ȵ�S��k+1)=Sk+1/x(k+1)

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