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来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 19:53:42
已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为1/2,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形周长等于8.（1）求椭圆C的方程.（2）若过点（0,-2）的直线I与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点）且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求直线I的方程.
1
椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形周长等于2a+2a=4a=8
a=2
离心率c/a=c/2=1/2 c=1
b=√(a^2-c^2)=√3
椭圆方程为x^2/4+y^2/3=1
2
直线l过点（0,-2）
设l为y=kx-2
将l方程代入椭圆
得（4k^2+3）x^2-16kx+4=0
此方程的两个解即为A,B的横坐标
设A（x1.kx1-2）,B(x2,kx2-2)
设椭圆C的右顶点为K（2,0）
由于以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点
则有AK⊥BK
向量AK=（x1-2,kx1-2）
向量BK=（x2-2,kx2-2）
AK*BK=0
即（x1-2）(x2-2)+(kx1-2)(kx2-2)=0
化简得
（k^2+1）x1x2-(2k+2)(x1+x2)+8=0
x1,x2是方程（4k^2+3）x^2-16kx+4=0的 两个解
x1+x1=16k/(4k^2+3)
x1x2=4/(4k^2+3)
代入
（k^2+1）*4/（4k^2+3）-(2k+2)*16k/(4k^2+3)+8=0
化简得
（4k^2-32k+28）/(4k^2+3)=0
即4k^2-32k+28=0
解得k=1或7
所以直线l方程为y=x-2,或y=7x-2
椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形周长等于2a+2a=4a=8
a=2
离心率c/a=c/2=1/2 c=1
b=√(a^2-c^2)=√3
椭圆方程为x^2/4+y^2/3=1
2
直线l过点（0,-2）
设l为y=kx-2
将l方程代入椭圆
得（4k^2+3）x^2-16kx+4=0
此方程的两个解即为A,B的横坐标
设A（x1.kx1-2）,B(x2,kx2-2)
设椭圆C的右顶点为K（2,0）
由于以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点
则有AK⊥BK
向量AK=（x1-2,kx1-2）
向量BK=（x2-2,kx2-2）
AK*BK=0
即（x1-2）(x2-2)+(kx1-2)(kx2-2)=0
化简得
（k^2+1）x1x2-(2k+2)(x1+x2)+8=0
x1,x2是方程（4k^2+3）x^2-16kx+4=0的 两个解
x1+x1=16k/(4k^2+3)
x1x2=4/(4k^2+3)
代入
（k^2+1）*4/（4k^2+3）-(2k+2)*16k/(4k^2+3)+8=0
化简得
（4k^2-32k+28）/(4k^2+3)=0
即4k^2-32k+28=0
解得k=1或7
所以直线l方程为y=x-2,或y=7x-2
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