作业帮已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,离心率为1/2,且点（1,3/2）在椭圆上,
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 16:45:21
已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,离心率为1/2,且点（1,3/2）在椭圆上,
过椭圆C左焦点F1的直线l 与椭圆相交于AB点,若三角形AOB面积为（6根号2）/7,求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程
过椭圆C左焦点F1的直线l 与椭圆相交于AB点,若三角形AOB面积为（6根号2）/7,求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程
设椭圆方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1,e=c/a=1/2, c=a/2,a^2-c^2=b^2,b^2=3a^2/4,
方程为：x^2/a^2+y^2/(3a^2/4)=1,
x=1,y=3/2代入方程,a=2,
方程为：x^2/4+y^2/3=1,
c=√（a^2-b^2)=1,
AB过F1（-1,0）,
设AB方程为：y=k(x+1),(1)
kx-y+k=0,
设圆半径为R,则圆心O与AB距离为R,垂足就是切点,
R=|k|/√（1+k^2),
将直线方程（1）代入椭圆方程,
（3+4k^2)x^2+8k^2x+4k^2-12=0,
根据韦达定理,
x1+x2=-8k^2/(3+4k^2),
x1x2=(4k^2-12)/(3+4k^2),
根据弦长公式,
|AB||=√（1+k^2)(x1-x2)^2=√（1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]
=12(1+k^2)/(3+4k^2),
S△AOB=|AB|*R/2=（1/2）12(1+k^2)/(3+4k^2)*|k|/√（1+k^2）=
=6|k|√（1+k^2)/(3+4k^2)=6√2/7,
17k^4+k^2-18=0,
(17k^2+18)(k^2-1)=0,
k=1,或k=-1,
直线有二条,但圆只有一个,
R=√2/2,
所以与直线l相切的圆方程为：x^2+y^2=1/2.
方程为：x^2/a^2+y^2/(3a^2/4)=1,
x=1,y=3/2代入方程,a=2,
方程为：x^2/4+y^2/3=1,
c=√（a^2-b^2)=1,
AB过F1（-1,0）,
设AB方程为：y=k(x+1),(1)
kx-y+k=0,
设圆半径为R,则圆心O与AB距离为R,垂足就是切点,
R=|k|/√（1+k^2),
将直线方程（1）代入椭圆方程,
（3+4k^2)x^2+8k^2x+4k^2-12=0,
根据韦达定理,
x1+x2=-8k^2/(3+4k^2),
x1x2=(4k^2-12)/(3+4k^2),
根据弦长公式,
|AB||=√（1+k^2)(x1-x2)^2=√（1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]
=12(1+k^2)/(3+4k^2),
S△AOB=|AB|*R/2=（1/2）12(1+k^2)/(3+4k^2)*|k|/√（1+k^2）=
=6|k|√（1+k^2)/(3+4k^2)=6√2/7,
17k^4+k^2-18=0,
(17k^2+18)(k^2-1)=0,
k=1,或k=-1,
直线有二条,但圆只有一个,
R=√2/2,
所以与直线l相切的圆方程为：x^2+y^2=1/2.
已知椭圆C的对称中心为原点O,焦点在x轴上,离心率为1/2,且点（1,3/2）在椭圆上,
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