作业帮一道线性代数证明题..
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 22:46:00
一道线性代数证明题..
求证：一个n元二次型可以分解成两个实系数1次齐次多项式的乘积当且仅当它的秩为2,且符号差为0,或者它的秩为1.
求证：一个n元二次型可以分解成两个实系数1次齐次多项式的乘积当且仅当它的秩为2,且符号差为0,或者它的秩为1.
必要性：f(x1,...,xn)=（a1x1+...+anxn)(b1x1+...+bnxn),若向量a＝(a1 a2 ...an)^T和b＝（b1 b2 ...bn）^T线性无关,则可将其扩充为R^n的一组基,再做变量替换y1=a1x1+...+anxn,y2=b1x1+...+bnxn,y3,...,yn由基中其余向量给出,则f＝y1×y2,此时二次型的秩为2,符号差为0.若a与b相关,则b＝ka,于是f=k(a1x1+...+anxn)^2,此时秩为1,k>0是正惯性指数为1,否则是负惯性指数为1.
充分性：秩为1时显然.秩为2且正惯性指数为1,则f的标准型为f(y)=y1^2-y2^2＝（y1+y2）（y1－y2）,将y1和y2用原先的xi代入即得结论.
充分性：秩为1时显然.秩为2且正惯性指数为1,则f的标准型为f(y)=y1^2-y2^2＝（y1+y2）（y1－y2）,将y1和y2用原先的xi代入即得结论.