例4．设x，y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/26 22:36:29

证明：充分性：如果xy=0，那么，①x=0，y≠0②x≠0，y=0③x=0，y=0于是|x+y|=|x|+|y|明显成立．
如果xy＞0即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0
当x＞0，y＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|，
当x＜0，y＜0时，|x+y|=-x-y=（-x）+（-y）=|x|+|y|，
总之，当xy≥0时，|x+y|=|x|+|y|．
必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x，y∈R
得（x+y）²=（|x|+|y|）²即x²+2xy+y²=x²+2|xy|+y²
得|xy|=xy所以xy≥0故必要性成立，
综上，原命题成立．
故结论成立．

例4．设x，y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0．设x、y为实数,求证：|x+y|=|x|+|y| 成立的充要条件是xy≥0. 已知x、y是实数,请写出xy(x-y)>0成立的充要条件设x，y∈R+且xy-（x+y）=1，则x+y的最小值为______． ①设x，y∈R+，且x+y+xy=2，求x+y的最小值．设X、Y属于R,求证：X+Y的绝对值=X的绝对值+Y的绝对值-----充要条件是X*Y大于或等于0（要具体的证明过程）已知x、y都是实数请写出xy(x-y)>0成立的充要条件设f(x)是定义在R+上的增函数,并且对任意的x>0,y>0,f(xy)=f(x)+f(y)总成立如题：随机变量X与Y不相关是D（X+Y）=DX+DY成立的充要条件,求证! 已知x，y∈R+，且x+y=1，求证：xy+1xy≥174 关于充要条件的数学题设集合U={（x,y）|x∈R,y∈R},A={(x,y）|2x-y+m＞0},B={（x,y）|x 已知x,y属于R,写出一个使得|x-y|=|x|+|y|成立的充要条件,并证明