线性代数 RT.已知二次型f(x1,x2,x3)=（X^T）AX=x1^2-5x2^2+x3^2+2ax1x2+2x1x

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 21:33:34

线性代数
RT.
已知二次型f(x1,x2,x3)=（X^T）AX=x1^2-5x2^2+x3^2+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3
的秩为3,且（2,1,2）^T是A的特征向量,则经正交变换得到的二次型标准形是?
我想问的问题是 r(A)=3能否推出A的行列式=0 为什么?
那此题该如何求解？求解思路也可

这题还有点意思.
二次型的矩阵 A =
1 a 1
a -5 b
1 b 1
由(2,1,2)^T是A的特征向量得
A(2,1,2)^T = λ1(2,1,2)^T
即有 a+4 = 2λ1
2a+2b-5 = λ1
b+4 = 2λ1
解得:a=b=2,λ1=3
即知A有特征值λ1=3.
因为r(A) < 3,[题目有误,应该是秩小于3,因为|A|=0]
所以A的特征值λ2=0.
再由特征值的和等于矩阵的迹得
λ1+λ2+λ3 = 3+0+λ3 = 1-5+1 = -3
所以 λ3=-6.
即A的所有特征值为 3,-6,0
所以二次型的标准形为
f(y1,y2,y3) = 3y1^2-6y2^2.

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